Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pconpi1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pconpi1 30473
 Description: All fundamental groups in a path-connected space are isomorphic. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pconpi1.x 𝑋 = 𝐽
pconpi1.p 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
pconpi1.q 𝑄 = (𝐽 π1 𝐵)
pconpi1.s 𝑆 = (Base‘𝑃)
pconpi1.t 𝑇 = (Base‘𝑄)
Assertion
Ref Expression
pconpi1 ((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑃𝑔 𝑄)

Proof of Theorem pconpi1
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pconpi1.x . . 3 𝑋 = 𝐽
21pconcn 30460 . 2 ((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → ∃𝑓 ∈ (II Cn 𝐽)((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))
3 eqid 2610 . . . . 5 (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 (𝑓‘0))
4 eqid 2610 . . . . 5 (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = (𝐽 π1 (𝑓‘1))
5 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) = (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0)))
6 eqid 2610 . . . . 5 ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) = ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩)
7 simpl1 1057 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ PCon)
8 pcontop 30461 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ PCon → 𝐽 ∈ Top)
97, 8syl 17 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ Top)
101toptopon 20548 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
119, 10sylib 207 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
12 simprl 790 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝑓 ∈ (II Cn 𝐽))
13 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (1 − 𝑥) = (1 − 𝑦))
1413fveq2d 6107 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑓‘(1 − 𝑥)) = (𝑓‘(1 − 𝑦)))
1514cbvmptv 4678 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑦)))
163, 4, 5, 6, 11, 12, 15pi1xfrgim 22666 . . . 4 (((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) ∈ ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) GrpIso (𝐽 π1 (𝑓‘1))))
17 simprrl 800 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝑓‘0) = 𝐴)
1817oveq2d 6565 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = (𝐽 π1 𝐴))
19 pconpi1.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐽 π1 𝐴)
2018, 19syl6eqr 2662 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘0)) = 𝑃)
21 simprrr 801 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝑓‘1) = 𝐵)
2221oveq2d 6565 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = (𝐽 π1 𝐵))
23 pconpi1.q . . . . . 6 𝑄 = (𝐽 π1 𝐵)
2422, 23syl6eqr 2662 . . . . 5 (((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → (𝐽 π1 (𝑓‘1)) = 𝑄)
2520, 24oveq12d 6567 . . . 4 (((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ((𝐽 π1 (𝑓‘0)) GrpIso (𝐽 π1 (𝑓‘1))) = (𝑃 GrpIso 𝑄))
2616, 25eleqtrd 2690 . . 3 (((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄))
27 brgici 17535 . . 3 (ran ( (Base‘(𝐽 π1 (𝑓‘0))) ↦ ⟨[]( ≃ph𝐽), [((𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑓‘(1 − 𝑥)))(*𝑝𝐽)((*𝑝𝐽)𝑓))]( ≃ph𝐽)⟩) ∈ (𝑃 GrpIso 𝑄) → 𝑃𝑔 𝑄)
2826, 27syl 17 . 2 (((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) ∧ (𝑓 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝑓‘0) = 𝐴 ∧ (𝑓‘1) = 𝐵))) → 𝑃𝑔 𝑄)
292, 28rexlimddv 3017 1 ((𝐽 ∈ PCon ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝑃𝑔 𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  [cec 7627  0cc0 9815  1c1 9816   − cmin 10145  [,]cicc 12049  Basecbs 15695   GrpIso cgim 17522   ≃𝑔 cgic 17523  Topctop 20517  TopOnctopon 20518   Cn ccn 20838  IIcii 22486   ≃phcphtpc 22576  *𝑝cpco 22608   π1 cpi1 22611  PConcpcon 30455 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-qus 15992  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-mulg 17364  df-ghm 17481  df-gim 17524  df-gic 17525  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-ii 22488  df-htpy 22577  df-phtpy 22578  df-phtpc 22599  df-pco 22613  df-om1 22614  df-pi1 22616  df-pcon 30457 This theorem is referenced by:  sconpi1  30475
 Copyright terms: Public domain W3C validator