Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pclunN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pclunN 34202
 Description: The projective subspace closure of the union of two sets of atoms equals the closure of their projective sum. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclun.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclun.p + = (+𝑃𝐾)
pclun.c 𝑈 = (PCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pclunN ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) = (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))

Proof of Theorem pclunN
StepHypRef Expression
1 simp1 1054 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝐾𝑉)
2 pclun.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 pclun.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
42, 3paddunssN 34112 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ (𝑋 + 𝑌))
52, 3paddssat 34118 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
6 pclun.c . . . 4 𝑈 = (PCl‘𝐾)
72, 6pclssN 34198 . . 3 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋𝑌) ⊆ (𝑋 + 𝑌) ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))
81, 4, 5, 7syl3anc 1318 . 2 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))
9 unss 3749 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) ↔ (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
109biimpi 205 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
11103adant1 1072 . . . . . . 7 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
122, 6pclssidN 34199 . . . . . . 7 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
131, 11, 12syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
14 unss 3749 . . . . . 6 ((𝑋 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑌 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))) ↔ (𝑋𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
1513, 14sylibr 223 . . . . 5 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑌 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))))
16 simp2 1055 . . . . . 6 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑋𝐴)
17 simp3 1056 . . . . . 6 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → 𝑌𝐴)
18 eqid 2610 . . . . . . . 8 (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
192, 18, 6pclclN 34195 . . . . . . 7 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
201, 11, 19syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾))
212, 18, 3paddss 34149 . . . . . 6 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴 ∧ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾))) → ((𝑋 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑌 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))))
221, 16, 17, 20, 21syl13anc 1320 . . . . 5 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ 𝑌 ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))) ↔ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌))))
2315, 22mpbid 221 . . . 4 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
242, 18psubssat 34058 . . . . 5 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ 𝐴)
251, 20, 24syl2anc 691 . . . 4 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ 𝐴)
262, 6pclssN 34198 . . . 4 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∧ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑈‘(𝑋𝑌))))
271, 23, 25, 26syl3anc 1318 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑈‘(𝑋𝑌))))
2818, 6pclidN 34200 . . . 4 ((𝐾𝑉 ∧ (𝑈‘(𝑋𝑌)) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘(𝑈‘(𝑋𝑌))) = (𝑈‘(𝑋𝑌)))
291, 20, 28syl2anc 691 . . 3 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑈‘(𝑋𝑌))) = (𝑈‘(𝑋𝑌)))
3027, 29sseqtrd 3604 . 2 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)) ⊆ (𝑈‘(𝑋𝑌)))
318, 30eqssd 3585 1 ((𝐾𝑉𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑈‘(𝑋𝑌)) = (𝑈‘(𝑋 + 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Atomscatm 33568  PSubSpcpsubsp 33800  +𝑃cpadd 34099  PClcpclN 34191 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-psubsp 33807  df-padd 34100  df-pclN 34192 This theorem is referenced by:  pclun2N  34203
 Copyright terms: Public domain W3C validator