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Theorem pclfinclN 34254
 Description: The projective subspace closure of a finite set of atoms is a closed subspace. Compare the (non-closed) subspace version pclfinN 34204 and also pclcmpatN 34205. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfincl.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclfincl.c 𝑈 = (PCl‘𝐾)
pclfincl.s 𝑆 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pclfinclN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) → (𝑈𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem pclfinclN
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3589 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
21anbi2d 736 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
3 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (𝑈𝑥) = (𝑈‘∅))
43eleq1d 2672 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((𝑈𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈‘∅) ∈ 𝑆))
52, 4imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐴) → (𝑈𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑈‘∅) ∈ 𝑆)))
6 sseq1 3589 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
76anbi2d 736 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)))
8 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑈𝑥) = (𝑈𝑦))
98eleq1d 2672 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑈𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈𝑦) ∈ 𝑆))
107, 9imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐴) → (𝑈𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → (𝑈𝑦) ∈ 𝑆)))
11 sseq1 3589 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
1211anbi2d 736 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
13 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑈𝑥) = (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
1413eleq1d 2672 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑈𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))
1512, 14imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐴) → (𝑈𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)))
16 sseq1 3589 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐴𝑋𝐴))
1716anbi2d 736 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴)))
18 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑈𝑥) = (𝑈𝑋))
1918eleq1d 2672 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑈𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈𝑋) ∈ 𝑆))
2017, 19imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐴) → (𝑈𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) ∈ 𝑆)))
21 pclfincl.c . . . . . . 7 𝑈 = (PCl‘𝐾)
2221pcl0N 34226 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)
23 pclfincl.s . . . . . . 7 𝑆 = (PSubCl‘𝐾)
24230psubclN 34247 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → ∅ ∈ 𝑆)
2522, 24eqeltrd 2688 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) ∈ 𝑆)
2625adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑈‘∅) ∈ 𝑆)
27 anass 679 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐴)))
28 vex 3176 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
2928snss 4259 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
3029anbi2i 726 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑧𝐴) ↔ (𝑦𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴))
31 unss 3749 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
3230, 31bitri 263 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐴𝑧𝐴) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
3332anbi2i 726 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐴)) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
3427, 33bitr2i 264 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴))
35 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝑦 = ∅)
3635uneq1d 3728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (∅ ∪ {𝑧}))
37 uncom 3719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∅ ∪ {𝑧}) = ({𝑧} ∪ ∅)
38 un0 3919 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑧} ∪ ∅) = {𝑧}
3937, 38eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ∪ {𝑧}) = {𝑧}
4036, 39syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = {𝑧})
4140fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = (𝑈‘{𝑧}))
42 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
43 hlatl 33665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
45 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝑧𝐴)
46 pclfincl.a . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
47 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
4846, 47snatpsubN 34054 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑧𝐴) → {𝑧} ∈ (PSubSp‘𝐾))
4944, 45, 48syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → {𝑧} ∈ (PSubSp‘𝐾))
5047, 21pclidN 34200 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑧} ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘{𝑧}) = {𝑧})
5142, 49, 50syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈‘{𝑧}) = {𝑧})
5241, 51eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = {𝑧})
5346, 23atpsubclN 34249 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝐴) → {𝑧} ∈ 𝑆)
5442, 45, 53syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → {𝑧} ∈ 𝑆)
5552, 54eqeltrd 2688 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)
5655exp43 638 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑧𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
57 simplrl 796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
5846, 21pclssidN 34199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ⊆ (𝑈𝑦))
5958ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝑦 ⊆ (𝑈𝑦))
60 unss1 3744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ⊆ (𝑈𝑦) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈𝑦) ∪ {𝑧}))
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈𝑦) ∪ {𝑧}))
62 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈𝑦) ∈ 𝑆)
6346, 23psubclssatN 34245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
6457, 62, 63syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴)
65 snssi 4280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝐴 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
6665ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
67 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (+𝑃𝐾) = (+𝑃𝐾)
6846, 67paddunssN 34112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) → ((𝑈𝑦) ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}))
6957, 64, 66, 68syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → ((𝑈𝑦) ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}))
7061, 69sstrd 3578 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}))
7146, 67paddssat 34118 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) → ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ⊆ 𝐴)
7257, 64, 66, 71syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ⊆ 𝐴)
7346, 21pclssN 34198 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ∧ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ⊆ (𝑈‘((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧})))
7457, 70, 72, 73syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ⊆ (𝑈‘((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧})))
75 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝑧𝐴)
7646, 67, 23paddatclN 34253 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) → ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ∈ 𝑆)
7757, 62, 75, 76syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ∈ 𝑆)
7847, 23psubclsubN 34244 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ∈ 𝑆) → ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ∈ (PSubSp‘𝐾))
7957, 77, 78syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ∈ (PSubSp‘𝐾))
8047, 21pclidN 34200 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧})) = ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}))
8157, 79, 80syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈‘((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧})) = ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}))
8274, 81sseqtrd 3604 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ⊆ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}))
83 hllat 33668 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
8457, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
85 simpllr 795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝑦 ≠ ∅)
8646, 21pcl0bN 34227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑈𝑦) = ∅ ↔ 𝑦 = ∅))
8786ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → ((𝑈𝑦) = ∅ ↔ 𝑦 = ∅))
8887necon3bid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → ((𝑈𝑦) ≠ ∅ ↔ 𝑦 ≠ ∅))
8985, 88mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈𝑦) ≠ ∅)
90 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
91 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
9290, 91, 46, 67elpaddat 34108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈𝑦) ⊆ 𝐴𝑧𝐴) ∧ (𝑈𝑦) ≠ ∅) → (𝑞 ∈ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ↔ (𝑞𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑈𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))))
9384, 64, 75, 89, 92syl31anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ↔ (𝑞𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑈𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))))
94 simp1rl 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
95943ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ HL)
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝐾 ∈ HL)
97 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾))
98 simpl13 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑞𝐴)
99 unss 3749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦𝑤 ∧ {𝑧} ⊆ 𝑤) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)
100 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦𝑤 ∧ {𝑧} ⊆ 𝑤) → 𝑦𝑤)
10199, 100sylbir 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑦𝑤)
102101ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑦𝑤)
103 simpl2 1058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑝 ∈ (𝑈𝑦))
10447, 21elpcliN 34197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝑤𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦)) → 𝑝𝑤)
10596, 102, 97, 103, 104syl31anc 1321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑝𝑤)
10628snss 4259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧𝑤 ↔ {𝑧} ⊆ 𝑤)
107106biimpri 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ({𝑧} ⊆ 𝑤𝑧𝑤)
108107adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦𝑤 ∧ {𝑧} ⊆ 𝑤) → 𝑧𝑤)
10999, 108sylbir 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑧𝑤)
110109ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑧𝑤)
111 simpl3 1059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))
11290, 91, 46, 47psubspi2N 34052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ 𝑞𝐴) ∧ (𝑝𝑤𝑧𝑤𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))) → 𝑞𝑤)
11396, 97, 98, 105, 110, 111, 112syl33anc 1333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑞𝑤)
114113exp520 1280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑈𝑦) → (𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑞𝑤)))))
115114rexlimdv 3012 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴) ∧ 𝑞𝐴) → (∃𝑝 ∈ (𝑈𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑞𝑤))))
1161153expia 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑞𝐴 → (∃𝑝 ∈ (𝑈𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑞𝑤)))))
117116impd 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → ((𝑞𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑈𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑞𝑤))))
11893, 117sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑞𝑤))))
119118ralrimdv 2951 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) → ∀𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑞𝑤)))
120 simplrr 797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → 𝑦𝐴)
121120, 75jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
122121, 32sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
123 vex 3176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑞 ∈ V
12446, 47, 21, 123elpclN 34196 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ ∀𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑞𝑤)))
12557, 122, 124syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ ∀𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤𝑞𝑤)))
126119, 125sylibrd 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) → 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
127126ssrdv 3574 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}) ⊆ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
12882, 127eqssd 3585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((𝑈𝑦)(+𝑃𝐾){𝑧}))
129128, 77eqeltrd 2688 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴)) ∧ ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆𝑧𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)
130129exp43 638 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑧𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
13156, 130pm2.61dane 2869 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ Fin → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑈𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑧𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
132131a2d 29 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ Fin → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → (𝑈𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → (𝑧𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
133132imp4b 611 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → (𝑈𝑦) ∈ 𝑆)) → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑧𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))
13434, 133syl5bi 231 . . . . 5 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → (𝑈𝑦) ∈ 𝑆)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))
135134ex 449 . . . 4 (𝑦 ∈ Fin → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦𝐴) → (𝑈𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)))
1365, 10, 15, 20, 26, 135findcard2 8085 . . 3 (𝑋 ∈ Fin → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) ∈ 𝑆))
1371363impib 1254 . 2 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑈𝑋) ∈ 𝑆)
1381373coml 1264 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑋 ∈ Fin) → (𝑈𝑋) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  lecple 15775  joincjn 16767  Latclat 16868  Atomscatm 33568  AtLatcal 33569  HLchlt 33655  PSubSpcpsubsp 33800  +𝑃cpadd 34099  PClcpclN 34191  PSubClcpscN 34238 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-pclN 34192  df-polarityN 34207  df-psubclN 34239 This theorem is referenced by: (None)
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