Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pcl0bN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcl0bN 34227
Description: The projective subspace closure of the empty subspace. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pcl0b.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pcl0b.c 𝑈 = (PCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pcl0bN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ((𝑈𝑃) = ∅ ↔ 𝑃 = ∅))

Proof of Theorem pcl0bN
StepHypRef Expression
1 pcl0b.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2 pcl0b.c . . . . 5 𝑈 = (PCl‘𝐾)
31, 2pclssidN 34199 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → 𝑃 ⊆ (𝑈𝑃))
4 eqimss 3620 . . . 4 ((𝑈𝑃) = ∅ → (𝑈𝑃) ⊆ ∅)
53, 4sylan9ss 3581 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑈𝑃) = ∅) → 𝑃 ⊆ ∅)
6 ss0 3926 . . 3 (𝑃 ⊆ ∅ → 𝑃 = ∅)
75, 6syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑈𝑃) = ∅) → 𝑃 = ∅)
8 fveq2 6103 . . . 4 (𝑃 = ∅ → (𝑈𝑃) = (𝑈‘∅))
92pcl0N 34226 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)
108, 9sylan9eqr 2666 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 = ∅) → (𝑈𝑃) = ∅)
1110adantlr 747 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ 𝑃 = ∅) → (𝑈𝑃) = ∅)
127, 11impbida 873 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) → ((𝑈𝑃) = ∅ ↔ 𝑃 = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540  c0 3874  cfv 5804  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  PClcpclN 34191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-undef 7286  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-pclN 34192  df-polarityN 34207
This theorem is referenced by:  pclfinclN  34254
  Copyright terms: Public domain W3C validator