Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicval Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Value of the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
padicval.j 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
Assertion
Ref Expression
padicval ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑋 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑋) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑞,𝑃   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑥,𝑞)   𝑋(𝑞)

StepHypRef Expression
1 padicval.j . . . 4 𝐽 = (𝑞 ∈ ℙ ↦ (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑞↑-(𝑞 pCnt 𝑥)))))
21padicfval 25105 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (𝐽𝑃) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))))
32fveq1d 6105 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → ((𝐽𝑃)‘𝑋) = ((𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))))‘𝑋))
4 eqeq1 2614 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑋 = 0))
5 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → (𝑃 pCnt 𝑥) = (𝑃 pCnt 𝑋))
65negeqd 10154 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → -(𝑃 pCnt 𝑥) = -(𝑃 pCnt 𝑋))
76oveq2d 6565 . . . 4 (𝑥 = 𝑋 → (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)) = (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋)))
84, 7ifbieq2d 4061 . . 3 (𝑥 = 𝑋 → if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))
9 eqid 2610 . . 3 (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))))
10 c0ex 9913 . . . 4 0 ∈ V
11 ovex 6577 . . . 4 (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋)) ∈ V
1210, 11ifex 4106 . . 3 if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))) ∈ V
138, 9, 12fvmpt 6191 . 2 (𝑋 ∈ ℚ → ((𝑥 ∈ ℚ ↦ if(𝑥 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑥))))‘𝑋) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))
143, 13sylan9eq 2664 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑋 ∈ ℚ) → ((𝐽𝑃)‘𝑋) = if(𝑋 = 0, 0, (𝑃↑-(𝑃 pCnt 𝑋))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  -cneg 10146  ℚcq 11664  ↑cexp 12722  ℙcprime 15223   pCnt cpc 15379 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-z 11255  df-q 11665 This theorem is referenced by:  padicabvcxp  25121  ostth3  25127
 Copyright terms: Public domain W3C validator