Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddss12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddss12 34123
Description: Subset law for projective subspace sum. (unss12 3747 analog.) (Contributed by NM, 7-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddss12 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) → ((𝑋𝑌𝑍𝑊) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))

Proof of Theorem paddss12
StepHypRef Expression
1 simpl1 1057 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝐾𝐵)
2 simpl2 1058 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝑌𝐴)
3 sstr 3576 . . . . . . . 8 ((𝑍𝑊𝑊𝐴) → 𝑍𝐴)
43ancoms 468 . . . . . . 7 ((𝑊𝐴𝑍𝑊) → 𝑍𝐴)
54ad2ant2l 778 . . . . . 6 (((𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝑍𝐴)
653adantl1 1210 . . . . 5 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝑍𝐴)
71, 2, 63jca 1235 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → (𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴))
8 simprl 790 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → 𝑋𝑌)
9 padd0.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 padd0.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
119, 10paddss1 34121 . . . 4 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑍𝐴) → (𝑋𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍)))
127, 8, 11sylc 63 . . 3 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑍))
139, 10paddss2 34122 . . . . . 6 ((𝐾𝐵𝑊𝐴𝑌𝐴) → (𝑍𝑊 → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))
14133com23 1263 . . . . 5 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) → (𝑍𝑊 → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))
1514imp 444 . . . 4 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ 𝑍𝑊) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
1615adantrl 748 . . 3 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → (𝑌 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
1712, 16sstrd 3578 . 2 (((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) ∧ (𝑋𝑌𝑍𝑊)) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊))
1817ex 449 1 ((𝐾𝐵𝑌𝐴𝑊𝐴) → ((𝑋𝑌𝑍𝑊) → (𝑋 + 𝑍) ⊆ (𝑌 + 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540  cfv 5804  (class class class)co 6549  Atomscatm 33568  +𝑃cpadd 34099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-padd 34100
This theorem is referenced by:  paddssw1  34147  paddunN  34231  pl42lem2N  34284
  Copyright terms: Public domain W3C validator