Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddcom 34117
Description: Projective subspace sum commutes. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddcom ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem paddcom
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uncom 3719 . . . 4 (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋)
21a1i 11 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋))
3 simpl1 1057 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpl2 1058 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑋𝐴)
5 simprl 790 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑞𝑋)
64, 5sseldd 3569 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑞𝐴)
7 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
8 padd0.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
97, 8atbase 33594 . . . . . . . . 9 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
106, 9syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
11 simpl3 1059 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑌𝐴)
12 simprr 792 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑟𝑌)
1311, 12sseldd 3569 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑟𝐴)
147, 8atbase 33594 . . . . . . . . 9 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
1513, 14syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
16 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
177, 16latjcom 16882 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) = (𝑟(join‘𝐾)𝑞))
183, 10, 15, 17syl3anc 1318 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → (𝑞(join‘𝐾)𝑟) = (𝑟(join‘𝐾)𝑞))
1918breq2d 4595 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌)) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
20192rexbidva 3038 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
21 rexcom 3080 . . . . 5 (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞) ↔ ∃𝑟𝑌𝑞𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞))
2220, 21syl6bb 275 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟) ↔ ∃𝑟𝑌𝑞𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)))
2322rabbidv 3164 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} = {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑟𝑌𝑞𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)})
242, 23uneq12d 3730 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) = ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑟𝑌𝑞𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
25 eqid 2610 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
26 padd0.p . . 3 + = (+𝑃𝐾)
2725, 16, 8, 26paddval 34102 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋𝑌) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
2825, 16, 8, 26paddval 34102 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐴𝑋𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑟𝑌𝑞𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
29283com23 1263 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑌 + 𝑋) = ((𝑌𝑋) ∪ {𝑝𝐴 ∣ ∃𝑟𝑌𝑞𝑋 𝑝(le‘𝐾)(𝑟(join‘𝐾)𝑞)}))
3024, 27, 293eqtr4d 2654 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897  {crab 2900  cun 3538  wss 3540   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  Latclat 16868  Atomscatm 33568  +𝑃cpadd 34099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-lub 16797  df-join 16799  df-lat 16869  df-ats 33572  df-padd 34100
This theorem is referenced by:  paddass  34142  padd12N  34143  pmod2iN  34153  pmodN  34154  pmapjat2  34158
  Copyright terms: Public domain W3C validator