Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem7 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Lemma for paddass 34142. Combine paddasslem5 34128 and paddasslem6 34129. (Contributed by NM, 9-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddasslem7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ ((¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑠 (𝑝 𝑧))) → 𝑝 (𝑠 𝑧))

Proof of Theorem paddasslem7
StepHypRef Expression
1 simpl1 1057 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ ((¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑠 (𝑝 𝑧))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl21 1132 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ ((¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑠 (𝑝 𝑧))) → 𝑝𝐴)
3 simpl23 1134 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ ((¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑠 (𝑝 𝑧))) → 𝑠𝐴)
42, 3jca 553 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ ((¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑠 (𝑝 𝑧))) → (𝑝𝐴𝑠𝐴))
5 simpl33 1137 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ ((¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑠 (𝑝 𝑧))) → 𝑧𝐴)
6 simpl22 1133 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ ((¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑠 (𝑝 𝑧))) → 𝑟𝐴)
7 simpl3 1059 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ ((¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑠 (𝑝 𝑧))) → (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴))
8 simprl 790 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ ((¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑠 (𝑝 𝑧))) → (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦)))
9 paddasslem.l . . . 4 = (le‘𝐾)
10 paddasslem.j . . . 4 = (join‘𝐾)
11 paddasslem.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
129, 10, 11paddasslem5 34128 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴 ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦))) → 𝑠𝑧)
131, 6, 7, 8, 12syl31anc 1321 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ ((¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑠 (𝑝 𝑧))) → 𝑠𝑧)
14 simprr 792 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ ((¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑠 (𝑝 𝑧))) → 𝑠 (𝑝 𝑧))
159, 10, 11paddasslem6 34129 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑠𝐴) ∧ 𝑧𝐴) ∧ (𝑠𝑧𝑠 (𝑝 𝑧))) → 𝑝 (𝑠 𝑧))
161, 4, 5, 13, 14, 15syl32anc 1326 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝𝐴𝑟𝐴𝑠𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴)) ∧ ((¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦)) ∧ 𝑠 (𝑝 𝑧))) → 𝑝 (𝑠 𝑧))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  lecple 15775  joincjn 16767  Atomscatm 33568  HLchlt 33655 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656 This theorem is referenced by:  paddasslem9  34132
 Copyright terms: Public domain W3C validator