Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem2 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Lemma for paddass 34142. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
paddasslem2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑧 (𝑟 𝑦))

StepHypRef Expression
1 simp1l 1078 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp1r 1079 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑟𝐴)
3 simp23 1089 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑧𝐴)
4 simp22 1088 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑦𝐴)
52, 3, 43jca 1235 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → (𝑟𝐴𝑧𝐴𝑦𝐴))
6 simp21 1087 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑥𝐴)
7 simp3l 1082 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → ¬ 𝑟 (𝑥 𝑦))
8 paddasslem.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
9 paddasslem.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
10 paddasslem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
118, 9, 10atnlej2 33684 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟𝐴𝑥𝐴𝑦𝐴) ∧ ¬ 𝑟 (𝑥 𝑦)) → 𝑟𝑦)
121, 2, 6, 4, 7, 11syl131anc 1331 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑟𝑦)
131, 5, 123jca 1235 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟𝐴𝑧𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑟𝑦))
14 simp3r 1083 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑟 (𝑦 𝑧))
158, 9, 10hlatexch1 33699 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑟𝐴𝑧𝐴𝑦𝐴) ∧ 𝑟𝑦) → (𝑟 (𝑦 𝑧) → 𝑧 (𝑦 𝑟)))
1613, 14, 15sylc 63 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑧 (𝑦 𝑟))
17 hllat 33668 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
181, 17syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝐾 ∈ Lat)
19 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2019, 10atbase 33594 . . . 4 (𝑟𝐴𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
212, 20syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐾))
2219, 10atbase 33594 . . . 4 (𝑦𝐴𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
234, 22syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐾))
2419, 9latjcom 16882 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑟 𝑦) = (𝑦 𝑟))
2518, 21, 23, 24syl3anc 1318 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → (𝑟 𝑦) = (𝑦 𝑟))
2616, 25breqtrrd 4611 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑟𝐴) ∧ (𝑥𝐴𝑦𝐴𝑧𝐴) ∧ (¬ 𝑟 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑟 (𝑦 𝑧))) → 𝑧 (𝑟 𝑦))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  lecple 15775  joincjn 16767  Latclat 16868  Atomscatm 33568  HLchlt 33655 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-lat 16869  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656 This theorem is referenced by:  paddasslem4  34127
 Copyright terms: Public domain W3C validator