Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  p1evtxdp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem p1evtxdp1 40730
 Description: If an edge 𝐸 (not being a loop) which contains vertex 𝑈 is added to a graph 𝐺 (yielding a graph 𝐹), the degree of 𝑈 is increased by 1. (Contributed by AV, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
p1evtxdeq.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
p1evtxdeq.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
p1evtxdeq.f (𝜑 → Fun 𝐼)
p1evtxdeq.fv (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
p1evtxdeq.fi (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
p1evtxdeq.k (𝜑𝐾𝑋)
p1evtxdeq.d (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
p1evtxdeq.u (𝜑𝑈𝑉)
p1evtxdp1.e (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
p1evtxdp1.n (𝜑𝑈𝐸)
p1evtxdp1.l (𝜑 → 2 ≤ (#‘𝐸))
Assertion
Ref Expression
p1evtxdp1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))

Proof of Theorem p1evtxdp1
StepHypRef Expression
1 p1evtxdeq.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 p1evtxdeq.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 p1evtxdeq.f . . 3 (𝜑 → Fun 𝐼)
4 p1evtxdeq.fv . . 3 (𝜑 → (Vtx‘𝐹) = 𝑉)
5 p1evtxdeq.fi . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝐹) = (𝐼 ∪ {⟨𝐾, 𝐸⟩}))
6 p1evtxdeq.k . . 3 (𝜑𝐾𝑋)
7 p1evtxdeq.d . . 3 (𝜑𝐾 ∉ dom 𝐼)
8 p1evtxdeq.u . . 3 (𝜑𝑈𝑉)
9 p1evtxdp1.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ 𝒫 𝑉)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9p1evtxdeqlem 40728 . 2 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)))
11 fvex 6113 . . . . . . 7 (Vtx‘𝐺) ∈ V
121, 11eqeltri 2684 . . . . . 6 𝑉 ∈ V
13 snex 4835 . . . . . 6 {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V
1412, 13pm3.2i 470 . . . . 5 (𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V)
15 opiedgfv 25684 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
1614, 15mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (iEdg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = {⟨𝐾, 𝐸⟩})
17 opvtxfv 25681 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐾, 𝐸⟩} ∈ V) → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
1814, 17mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (Vtx‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩) = 𝑉)
19 p1evtxdp1.n . . . 4 (𝜑𝑈𝐸)
20 p1evtxdp1.l . . . 4 (𝜑 → 2 ≤ (#‘𝐸))
2116, 18, 6, 8, 9, 19, 201hevtxdg1 40721 . . 3 (𝜑 → ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈) = 1)
2221oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 ((VtxDeg‘⟨𝑉, {⟨𝐾, 𝐸⟩}⟩)‘𝑈)) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))
2310, 22eqtrd 2644 1 (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐹)‘𝑈) = (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) +𝑒 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∉ wnel 2781  Vcvv 3173   ∪ cun 3538  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   ≤ cle 9954  2c2 10947   +𝑒 cxad 11820  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  VtxDegcvtxdg 40681 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-hash 12980  df-vtx 25675  df-iedg 25676  df-vtxdg 40682 This theorem is referenced by:  vdegp1bi-av  40753
 Copyright terms: Public domain W3C validator