Theorem ovnssle 39451

Description: The (multidimensional) Lebesgue outer measure of a subset is less than the L.o.m. of the whole set. This is step (iii) of the proof of Proposition 115D (a) of [Fremlin1] p. 30. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnssle.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
ovnssle.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
ovnssle.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))

Assertion

Ref	Expression
ovnssle	⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))

Proof of Theorem ovnssle

Dummy variables 𝑖 𝑧 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0le0 10987	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 0 ≤ 0)
3		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → (voln*‘𝑋) = (voln*‘∅))
4	3	fveq1d 6105	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘∅)‘𝐴))
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = ((voln*‘∅)‘𝐴))
6		ovnssle.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
8		ovnssle.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
10		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
11	10	oveq2d 6565	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (ℝ ↑𝑚 𝑋) = (ℝ ↑𝑚 ∅))
12	9, 11	sseqtrd 3604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑𝑚 ∅))
13	7, 12	sstrd 3578	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 ∅))
14	13	ovn0val 39440	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘∅)‘𝐴) = 0)
15	5, 14	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) = 0)
16	3	fveq1d 6105	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = ((voln*‘∅)‘𝐵))
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = ((voln*‘∅)‘𝐵))
18	12	ovn0val 39440	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘∅)‘𝐵) = 0)
19	17, 18	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐵) = 0)
20	15, 19	breq12d 4596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → (((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵) ↔ 0 ≤ 0))
21	2, 20	mpbird 246	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))
22		ovnssle.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ∈ Fin)
24		neqne 2790	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑋 ≠ ∅)
26	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
27	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝐵 ⊆ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
28		eqid 2610	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
29		eqid 2610	. . 3 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 𝑋) ↑𝑚 ℕ)(𝐵 ⊆ ∪ 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘(([,) ∘ (𝑖‘𝑗))‘𝑘)))))}
30	23, 25, 26, 27, 28, 29	ovnsslelem 39450	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))
31	21, 30	pm2.61dan 828	1 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘𝑋)‘𝐴) ≤ ((voln*‘𝑋)‘𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  Xcixp 7794  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  ℝ^*cxr 9952   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  [,)cico 12048  ∏cprod 14474  volcvol 23039  Σ^{^}csumge0 39255  voln*covoln 39426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-seq 12664  df-prod 14475  df-ovoln 39427

This theorem is referenced by:  ovnome  39463  hspmbllem3  39518