Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ovn0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovn0val 39440
 Description: The Lebesgue outer measure (for the zero dimensional space of reals) of every subset is zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ovn0val.1 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 ∅))
Assertion
Ref Expression
ovn0val (𝜑 → ((voln*‘∅)‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ovn0val
Dummy variables 𝑖 𝑧 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0fin 8073 . . . 4 ∅ ∈ Fin
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
3 ovn0val.1 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ (ℝ ↑𝑚 ∅))
4 eqid 2610 . . 3 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 ∅) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 ∅) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}
52, 3, 4ovnval2 39435 . 2 (𝜑 → ((voln*‘∅)‘𝐴) = if(∅ = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 ∅) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}, ℝ*, < )))
6 eqid 2610 . . . 4 ∅ = ∅
7 iftrue 4042 . . . 4 (∅ = ∅ → if(∅ = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 ∅) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}, ℝ*, < )) = 0)
86, 7ax-mp 5 . . 3 if(∅ = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 ∅) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}, ℝ*, < )) = 0
98a1i 11 . 2 (𝜑 → if(∅ = ∅, 0, inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ ∃𝑖 ∈ (((ℝ × ℝ) ↑𝑚 ∅) ↑𝑚 ℕ)(𝐴 𝑗 ∈ ℕ X𝑘 ∈ ∅ (([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘) ∧ 𝑧 = (Σ^‘(𝑗 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘 ∈ ∅ (vol‘(([,) ∘ (𝑖𝑗))‘𝑘)))))}, ℝ*, < )) = 0)
105, 9eqtrd 2644 1 (𝜑 → ((voln*‘∅)‘𝐴) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036  ∪ ciun 4455   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036   ∘ ccom 5042  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  Xcixp 7794  Fincfn 7841  infcinf 8230  ℝcr 9814  0cc0 9815  ℝ*cxr 9952   < clt 9953  ℕcn 10897  [,)cico 12048  ∏cprod 14474  volcvol 23039  Σ^csumge0 39255  voln*covoln 39426 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-mulcl 9877  ax-i2m1 9883  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-seq 12664  df-prod 14475  df-ovoln 39427 This theorem is referenced by:  ovnssle  39451  ovn02  39458  ovnsubadd  39462  ovnhoi  39493  ovnlecvr2  39500  von0val  39562
 Copyright terms: Public domain W3C validator