Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem6N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem6N 34265
Description: Lemma for osumclN 34271. Use atom exchange hlatexch1 33699 to swap 𝑝 and 𝑞. (Contributed by NM, 24-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l = (le‘𝐾)
osumcllem.j = (join‘𝐾)
osumcllem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p + = (+𝑃𝐾)
osumcllem.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcllem.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem6N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))

Proof of Theorem osumcllem6N
StepHypRef Expression
1 simp11 1084 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp12 1085 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑋𝐴)
3 simp13 1086 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑌𝐴)
4 simp2r 1081 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑝𝐴)
5 simp31 1090 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑟𝑋)
6 simp32 1091 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞𝑌)
73, 6sseldd 3569 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞𝐴)
82, 5sseldd 3569 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑟𝐴)
97, 4, 83jca 1235 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → (𝑞𝐴𝑝𝐴𝑟𝐴))
10 simp2l 1080 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑋 ⊆ ( 𝑌))
11 osumcllem.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
12 osumcllem.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
13 osumcllem.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14 osumcllem.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
15 osumcllem.o . . . . . 6 = (⊥𝑃𝐾)
16 osumcllem.c . . . . . 6 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
17 osumcllem.m . . . . . 6 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
18 osumcllem.u . . . . . 6 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
1911, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18osumcllem4N 34263 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌)) → 𝑞𝑟)
201, 3, 10, 5, 6, 19syl32anc 1326 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞𝑟)
211, 9, 203jca 1235 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑞𝐴𝑝𝐴𝑟𝐴) ∧ 𝑞𝑟))
22 simp33 1092 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑞 (𝑟 𝑝))
2311, 12, 13hlatexch1 33699 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑞𝐴𝑝𝐴𝑟𝐴) ∧ 𝑞𝑟) → (𝑞 (𝑟 𝑝) → 𝑝 (𝑟 𝑞)))
2421, 22, 23sylc 63 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑝 (𝑟 𝑞))
2511, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18osumcllem5N 34264 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 24, 25syl313anc 1342 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ⊆ ( 𝑌) ∧ 𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞𝑌𝑞 (𝑟 𝑝))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  lecple 15775  joincjn 16767  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  +𝑃cpadd 34099  𝑃cpolN 34206  PSubClcpscN 34238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-polarityN 34207
This theorem is referenced by:  osumcllem7N  34266
  Copyright terms: Public domain W3C validator