Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  osumcllem3N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem osumcllem3N 34262
 Description: Lemma for osumclN 34271. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
osumcllem.l = (le‘𝐾)
osumcllem.j = (join‘𝐾)
osumcllem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p + = (+𝑃𝐾)
osumcllem.o = (⊥𝑃𝐾)
osumcllem.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
Assertion
Ref Expression
osumcllem3N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (( 𝑋) ∩ 𝑈) = 𝑌)

Proof of Theorem osumcllem3N
StepHypRef Expression
1 incom 3767 . 2 (( 𝑋) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ ( 𝑋))
2 osumcllem.u . . . . 5 𝑈 = ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌)))
3 simp1 1054 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp3 1056 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑋 ⊆ ( 𝑌))
5 osumcllem.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 osumcllem.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
75, 6psubclssatN 34245 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → 𝑌𝐴)
873adant3 1074 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌𝐴)
9 osumcllem.o . . . . . . . . . . 11 = (⊥𝑃𝐾)
105, 9polssatN 34212 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
113, 8, 10syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( 𝑌) ⊆ 𝐴)
124, 11sstrd 3578 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑋𝐴)
13 osumcllem.p . . . . . . . . 9 + = (+𝑃𝐾)
145, 13, 9poldmj1N 34232 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( 𝑋) ∩ ( 𝑌)))
153, 12, 8, 14syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( 𝑋) ∩ ( 𝑌)))
16 incom 3767 . . . . . . 7 (( 𝑋) ∩ ( 𝑌)) = (( 𝑌) ∩ ( 𝑋))
1715, 16syl6eq 2660 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( 𝑌) ∩ ( 𝑋)))
1817fveq2d 6107 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘( ‘(𝑋 + 𝑌))) = ( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))))
192, 18syl5eq 2656 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑈 = ( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))))
2019ineq1d 3775 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑈 ∩ ( 𝑋)) = (( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))) ∩ ( 𝑋)))
215, 9polcon2N 34223 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( 𝑋))
228, 21syld3an2 1365 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( 𝑋))
235, 9poml5N 34258 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌 ⊆ ( 𝑋)) → (( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))) ∩ ( 𝑋)) = ( ‘( 𝑌)))
243, 12, 22, 23syl3anc 1318 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (( ‘(( 𝑌) ∩ ( 𝑋))) ∩ ( 𝑋)) = ( ‘( 𝑌)))
259, 6psubcli2N 34243 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
26253adant3 1074 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → ( ‘( 𝑌)) = 𝑌)
2720, 24, 263eqtrd 2648 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (𝑈 ∩ ( 𝑋)) = 𝑌)
281, 27syl5eq 2656 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐶𝑋 ⊆ ( 𝑌)) → (( 𝑋) ∩ 𝑈) = 𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  lecple 15775  joincjn 16767  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  +𝑃cpadd 34099  ⊥𝑃cpolN 34206  PSubClcpscN 34238 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-polarityN 34207  df-psubclN 34239 This theorem is referenced by:  osumcllem9N  34268
 Copyright terms: Public domain W3C validator