Theorem osumclN 34271

Description: Closure of orthogonal sum. If 𝑋 and 𝑌 are orthogonal closed projective subspaces, then their sum is closed. (Contributed by NM, 25-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcl.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcl.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
osumclN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem osumclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1057	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1058	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
3		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
4		osumcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
5	3, 4	psubclssatN 34245	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
6	1, 2, 5	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾))
7		simpl3 1059	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
8	3, 4	psubclssatN 34245	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
9	1, 7, 8	syl2anc 691	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾))
10		osumcl.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
11	3, 10	paddssat 34118	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
12	1, 6, 9, 11	syl3anc 1318	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
13		simpll1 1093	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐾 ∈ HL)
14		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → (𝑋 + 𝑌) = (∅ + 𝑌))
15	3, 10	padd02 34116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
16	1, 9, 15	syl2anc 691	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
17	14, 16	sylan9eqr 2666	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑌)
18		simpll3 1095	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑌 ∈ 𝐶)
19	17, 18	eqeltrd 2688	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)
20		osumcl.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
21	20, 4	psubcli2N 34243	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
22	13, 19, 21	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 = ∅) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
23	10, 20, 4	osumcllem11N 34270	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ (𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌) ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑋 + 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
24	23	anassrs 678	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → (𝑋 + 𝑌) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))))
25	24	eqcomd 2616	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) ∧ 𝑋 ≠ ∅) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
26	22, 25	pm2.61dane 2869	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))
27	3, 20, 4	ispsubclN 34241	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))))
28	1, 27	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑋 + 𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝑋 + 𝑌))))
29	12, 26, 28	mpbir2and 959	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Atomscatm 33568  HLchlt 33655  +_𝑃cpadd 34099  ⊥_𝑃cpolN 34206  PSubClcpscN 34238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-riotaBAD 33257

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-undef 7286  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-polarityN 34207  df-psubclN 34239

This theorem is referenced by:  pmapojoinN  34272  pexmidN  34273