Theorem orvcelval 29857

Description: Preimage maps produced by the membership relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstrvprob.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
dstrvprob.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
orvcelel.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)

Assertion

Ref	Expression
orvcelval	⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ 𝐴))

Proof of Theorem orvcelval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstrvprob.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Prob)
2		dstrvprob.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (rRndVar‘𝑃))
3		orvcelel.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝔅ℝ)
4	1, 2, 3	orrvcval4 29853	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴}))
5		epelg 4950	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔅ℝ → (𝑥 E 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 E 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	rabbidv 3164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
8		dfin5 3548	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∩ 𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴}
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∩ 𝐴) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 ∈ 𝐴})
10		elssuni 4403	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔅ℝ → 𝐴 ⊆ ∪ 𝔅ℝ)
11		unibrsiga 29576	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝔅ℝ = ℝ
12	10, 11	syl6sseq 3614	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔅ℝ → 𝐴 ⊆ ℝ)
13	3, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
14		sseqin2 3779	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
15	13, 14	sylib 207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℝ ∩ 𝐴) = 𝐴)
16	7, 9, 15	3eqtr2d 2650	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴} = 𝐴)
17	16	imaeq2d 5385	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝑋 “ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑥 E 𝐴}) = (◡𝑋 “ 𝐴))
18	4, 17	eqtrd 2644	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋∘RV/𝑐 E 𝐴) = (◡𝑋 “ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∪ cuni 4372   class class class wbr 4583   E cep 4947  ^◡ccnv 5037   “ cima 5041  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  𝔅_ℝcbrsiga 29571  Probcprb 29796  rRndVarcrrv 29829  ∘_RV/𝑐corvc 29844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ioo 12050  df-topgen 15927  df-top 20521  df-bases 20522  df-esum 29417  df-siga 29498  df-sigagen 29529  df-brsiga 29572  df-meas 29586  df-mbfm 29640  df-prob 29797  df-rrv 29830  df-orvc 29845

This theorem is referenced by:  orvcelel  29858  dstrvval  29859  dstrvprob  29860