Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordsucelsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordsucelsuc 6914
 Description: Membership is inherited by successors. Generalization of Exercise 9 of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 22-Jun-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
ordsucelsuc (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))

Proof of Theorem ordsucelsuc
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . 3 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → Ord 𝐵)
2 ordelord 5662 . . 3 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → Ord 𝐴)
31, 2jca 553 . 2 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴))
4 simpl 472 . . 3 ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐵)
5 ordsuc 6906 . . . 4 (Ord 𝐵 ↔ Ord suc 𝐵)
6 ordelord 5662 . . . . 5 ((Ord suc 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord suc 𝐴)
7 ordsuc 6906 . . . . 5 (Ord 𝐴 ↔ Ord suc 𝐴)
86, 7sylibr 223 . . . 4 ((Ord suc 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐴)
95, 8sylanb 488 . . 3 ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → Ord 𝐴)
104, 9jca 553 . 2 ((Ord 𝐵 ∧ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵) → (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴))
11 ordsseleq 5669 . . . . . . . 8 ((Ord suc 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
127, 11sylanb 488 . . . . . . 7 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
1312ancoms 468 . . . . . 6 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
15 ordsucss 6910 . . . . . . 7 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
1615ad2antrl 760 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴𝐵 → suc 𝐴𝐵))
17 sucssel 5736 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴𝐵𝐴𝐵))
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴𝐵𝐴𝐵))
1916, 18impbid 201 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴𝐵))
20 sucexb 6901 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V ↔ suc 𝐴 ∈ V)
21 elsucg 5709 . . . . . . 7 (suc 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
2220, 21sylbi 206 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
2322adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 ↔ (suc 𝐴𝐵 ∨ suc 𝐴 = 𝐵)))
2414, 19, 233bitr4d 299 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ (Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴)) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
2524ex 449 . . 3 (𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
26 elex 3185 . . . . 5 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
27 elex 3185 . . . . . 6 (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵 → suc 𝐴 ∈ V)
2827, 20sylibr 223 . . . . 5 (suc 𝐴 ∈ suc 𝐵𝐴 ∈ V)
2926, 28pm5.21ni 366 . . . 4 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
3029a1d 25 . . 3 𝐴 ∈ V → ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵)))
3125, 30pm2.61i 175 . 2 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
323, 10, 31pm5.21nd 939 1 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ suc 𝐴 ∈ suc 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  Ord word 5639  suc csuc 5642 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-ord 5643  df-on 5644  df-suc 5646 This theorem is referenced by:  ordsucsssuc  6915  oalimcl  7527  omlimcl  7545  pssnn  8063  cantnflt  8452  cantnfp1lem3  8460  r1pw  8591  r1pwALT  8592  rankelpr  8619  rankelop  8620  rankxplim3  8627  infpssrlem4  9011  axdc3lem2  9156  axdc3lem4  9158  grur1a  9520  bnj570  30229  bnj1001  30282
 Copyright terms: Public domain W3C validator