Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbstaval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orbstaval 17568
 Description: Value of the function at a given equivalence class element. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r = (𝐺 ~QG 𝐻)
orbsta.f 𝐹 = ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩)
Assertion
Ref Expression
orbstaval ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝐵𝑋) → (𝐹‘[𝐵] ) = (𝐵 𝐴))
Distinct variable groups:   ,𝑘   𝑢,𝑘,   𝐴,𝑘,𝑢   𝑘,𝐺,𝑢   𝐵,𝑘,𝑢   𝑘,𝑋,𝑢   𝑘,𝑌
Allowed substitution hints:   (𝑢)   𝐹(𝑢,𝑘)   𝐻(𝑢,𝑘)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem orbstaval
StepHypRef Expression
1 orbsta.f . 2 𝐹 = ran (𝑘𝑋 ↦ ⟨[𝑘] , (𝑘 𝐴)⟩)
2 ovex 6577 . . 3 (𝑘 𝐴) ∈ V
32a1i 11 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝑘𝑋) → (𝑘 𝐴) ∈ V)
4 gasta.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 gasta.2 . . . 4 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
64, 5gastacl 17565 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7 orbsta.r . . . 4 = (𝐺 ~QG 𝐻)
84, 7eqger 17467 . . 3 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → Er 𝑋)
96, 8syl 17 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → Er 𝑋)
10 fvex 6113 . . . 4 (Base‘𝐺) ∈ V
114, 10eqeltri 2684 . . 3 𝑋 ∈ V
1211a1i 11 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝑋 ∈ V)
13 oveq1 6556 . 2 (𝑘 = 𝐵 → (𝑘 𝐴) = (𝐵 𝐴))
144, 5, 7, 1orbstafun 17567 . 2 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → Fun 𝐹)
151, 3, 9, 12, 13, 14qliftval 7723 1 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ 𝐵𝑋) → (𝐹‘[𝐵] ) = (𝐵 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173  ⟨cop 4131   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   Er wer 7626  [cec 7627  Basecbs 15695  SubGrpcsubg 17411   ~QG cqg 17413   GrpAct cga 17545 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-eqg 17416  df-ga 17546 This theorem is referenced by:  orbsta  17569
 Copyright terms: Public domain W3C validator