Theorem opsrtoslem1 19305

Description: Lemma for opsrtos 19307. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrso.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrso.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrso.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Toset)
opsrso.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
opsrso.w	⊢ (𝜑 → 𝑇 We 𝐼)
opsrtoslem.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
opsrtoslem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
opsrtoslem.q	⊢ < = (lt‘𝑅)
opsrtoslem.c	⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
opsrtoslem.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
opsrtoslem.ps	⊢ (𝜓 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
opsrtoslem.l	⊢ ≤ = (le‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
opsrtoslem1	⊢ (𝜑 → ≤ = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐶   𝑤,ℎ,𝑥,𝑦,𝑧,𝐼   𝜑,ℎ,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤, < ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑅,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑇,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   𝐵(𝑧,𝑤,ℎ)   𝐶(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   < (ℎ)   𝑇(ℎ)   ≤ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,ℎ)

Proof of Theorem opsrtoslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opsrtoslem.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		opsrso.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
3		opsrtoslem.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
4		opsrtoslem.q	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝑅)
5		opsrtoslem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑇 <bag 𝐼)
6		opsrtoslem.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		opsrtoslem.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑂)
8		opsrso.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	opsrle 19296	. 2 ⊢ (𝜑 → ≤ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))})
10		unopab 4660	. . 3 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓)} ∪ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦)}) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦))}
11		inopab 5174	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)}) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝜓 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))}
12		df-xp 5044	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 × 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)}
13	12	ineq2i 3773	. . . . 5 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)})
14		vex 3176	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
15		vex 3176	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
16	14, 15	prss 4291	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
17	16	anbi1i 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓))
18		ancom 465	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝜓) ↔ (𝜓 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
19	17, 18	bitr3i 265	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓) ↔ (𝜓 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
20	19	opabbii 4649	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝜓 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))}
21	11, 13, 20	3eqtr4i 2642	. . . 4 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓)}
22		opabresid 5374	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)} = ( I ↾ 𝐵)
23		equcom 1932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑦 = 𝑥)
24	23	anbi2i 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥))
25		eleq1 2676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ 𝐵))
26	25	biimpac 502	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
27	26	pm4.71i 662	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
28	24, 27	bitr3i 265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
29		an32 835	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦))
30	16	anbi1i 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑦) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦))
31	28, 29, 30	3bitri 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦))
32	31	opabbii 4649	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = 𝑥)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦)}
33	22, 32	eqtr3i 2634	. . . 4 ⊢ ( I ↾ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦)}
34	21, 33	uneq12i 3727	. . 3 ⊢ (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)) = ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓)} ∪ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦)})
35		opsrtoslem.ps	. . . . . . 7 ⊢ (𝜓 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))))
36	35	orbi1i 541	. . . . . 6 ⊢ ((𝜓 ∨ 𝑥 = 𝑦) ↔ (∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))
37	36	anbi2i 726	. . . . 5 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (𝜓 ∨ 𝑥 = 𝑦)) ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦)))
38		andi 907	. . . . 5 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (𝜓 ∨ 𝑥 = 𝑦)) ↔ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦)))
39	37, 38	bitr3i 265	. . . 4 ⊢ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦)) ↔ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦)))
40	39	opabbii 4649	. . 3 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝜓) ∨ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝑦))}
41	10, 34, 40	3eqtr4ri 2643	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ (∃𝑧 ∈ 𝐷 ((𝑥‘𝑧) < (𝑦‘𝑧) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 (𝑤𝐶𝑧 → (𝑥‘𝑤) = (𝑦‘𝑤))) ∨ 𝑥 = 𝑦))} = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵))
42	9, 41	syl6eq 2660	1 ⊢ (𝜑 → ≤ = (({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜓} ∩ (𝐵 × 𝐵)) ∪ ( I ↾ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  {cpr 4127   class class class wbr 4583  {copab 4642   I cid 4948   We wwe 4996   × cxp 5036  ^◡ccnv 5037   ↾ cres 5040   “ cima 5041  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑_𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  Basecbs 15695  lecple 15775  ltcplt 16764  Tosetctos 16856   mPwSer cmps 19172   <_bag cltb 19175   ordPwSer copws 19176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ple 15788  df-psr 19177  df-opsr 19181

This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  19306