Theorem opprneg 18458

Description: The negative function in an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opprbas.1	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
opprneg.2	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprneg	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑂)

Proof of Theorem opprneg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2610	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2610	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		opprneg.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	grpinvfval 17283	. 2 ⊢ 𝑁 = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅)))
6		opprbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
7	6, 1	opprbas 18452	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
8	6, 2	oppradd 18453	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
9	6, 3	oppr0 18456	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑂)
10		eqid 2610	. . 3 ⊢ (invg‘𝑂) = (invg‘𝑂)
11	7, 8, 9, 10	grpinvfval 17283	. 2 ⊢ (invg‘𝑂) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (℩𝑦 ∈ (Base‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑥) = (0g‘𝑅)))
12	5, 11	eqtr4i 2635	1 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1475   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  ℩crio 6510  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  0_gc0g 15923  inv_gcminusg 17246  opp_rcoppr 18445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-minusg 17249  df-oppr 18446

This theorem is referenced by:  unitnegcl  18504  ldualneg  33454  ldualvsub  33460  lcdneg  35917  lcdvsub  35924