MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprdomn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opprdomn 19122
Description: The opposite of a domain is also a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
opprdomn.1 𝑂 = (oppr𝑅)
Assertion
Ref Expression
opprdomn (𝑅 ∈ Domn → 𝑂 ∈ Domn)

Proof of Theorem opprdomn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnnzr 19116 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → 𝑅 ∈ NzRing)
2 opprdomn.1 . . . 4 𝑂 = (oppr𝑅)
32opprnzr 19086 . . 3 (𝑅 ∈ NzRing → 𝑂 ∈ NzRing)
41, 3syl 17 . 2 (𝑅 ∈ Domn → 𝑂 ∈ NzRing)
5 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2610 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
7 eqid 2610 . . . . . . . 8 (0g𝑅) = (0g𝑅)
85, 6, 7domneq0 19118 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅) ↔ (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑥 = (0g𝑅))))
983com23 1263 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑦(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅) ↔ (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑥 = (0g𝑅))))
10 eqid 2610 . . . . . . . 8 (.r𝑂) = (.r𝑂)
115, 6, 2, 10opprmul 18449 . . . . . . 7 (𝑥(.r𝑂)𝑦) = (𝑦(.r𝑅)𝑥)
1211eqeq1i 2615 . . . . . 6 ((𝑥(.r𝑂)𝑦) = (0g𝑅) ↔ (𝑦(.r𝑅)𝑥) = (0g𝑅))
13 orcom 401 . . . . . 6 ((𝑥 = (0g𝑅) ∨ 𝑦 = (0g𝑅)) ↔ (𝑦 = (0g𝑅) ∨ 𝑥 = (0g𝑅)))
149, 12, 133bitr4g 302 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r𝑂)𝑦) = (0g𝑅) ↔ (𝑥 = (0g𝑅) ∨ 𝑦 = (0g𝑅))))
1514biimpd 218 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑥(.r𝑂)𝑦) = (0g𝑅) → (𝑥 = (0g𝑅) ∨ 𝑦 = (0g𝑅))))
16153expb 1258 . . 3 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑥(.r𝑂)𝑦) = (0g𝑅) → (𝑥 = (0g𝑅) ∨ 𝑦 = (0g𝑅))))
1716ralrimivva 2954 . 2 (𝑅 ∈ Domn → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑂)𝑦) = (0g𝑅) → (𝑥 = (0g𝑅) ∨ 𝑦 = (0g𝑅))))
182, 5opprbas 18452 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
192, 7oppr0 18456 . . 3 (0g𝑅) = (0g𝑂)
2018, 10, 19isdomn 19115 . 2 (𝑂 ∈ Domn ↔ (𝑂 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r𝑂)𝑦) = (0g𝑅) → (𝑥 = (0g𝑅) ∨ 𝑦 = (0g𝑅)))))
214, 17, 20sylanbrc 695 1 (𝑅 ∈ Domn → 𝑂 ∈ Domn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wo 382  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  .rcmulr 15769  0gc0g 15923  opprcoppr 18445  NzRingcnzr 19078  Domncdomn 19101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-nzr 19079  df-domn 19105
This theorem is referenced by:  fidomndrng  19128
  Copyright terms: Public domain W3C validator