Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppperpex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppperpex 25445
 Description: Restating colperpex 25425 using the "opposite side of a line" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpg.d = (dist‘𝐺)
hpg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpg.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
opphl.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
opphl.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
opphl.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
opphl.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
oppperpex.1 (𝜑𝐴𝐷)
oppperpex.2 (𝜑𝐶𝑃)
oppperpex.3 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐷)
oppperpex.4 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
Assertion
Ref Expression
oppperpex (𝜑 → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝐶𝑂𝑝))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑎,𝑏   𝐼,𝑎,𝑏   𝑃,𝑎,𝑏   𝐴,𝑝,𝑡   𝐷,𝑝,𝑡   𝐶,𝑝,𝑡   𝐺,𝑝,𝑡   𝑡,𝐿   𝐼,𝑝,𝑡   𝐾,𝑝,𝑡   𝑡,𝑂   𝑃,𝑝,𝑡   𝜑,𝑝,𝑡   ,𝑝,𝑡   𝑡,𝑎,𝑏   𝐿,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐶(𝑎,𝑏)   𝐺(𝑎,𝑏)   𝐾(𝑎,𝑏)   𝐿(𝑎,𝑏)   (𝑎,𝑏)   𝑂(𝑝,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem oppperpex
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprrl 800 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥))
2 hpg.p . . . . . . 7 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 hpg.i . . . . . . 7 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 opphl.l . . . . . . 7 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 opphl.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65ad2antrr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 opphl.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
87ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
9 oppperpex.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴𝐷)
109ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝐷)
112, 4, 3, 6, 8, 10tglnpt 25244 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑃)
12 simplr 788 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥𝐷)
132, 4, 3, 6, 8, 12tglnpt 25244 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝑥𝑃)
14 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐴𝑥)
152, 3, 4, 6, 11, 13, 14, 14, 8, 10, 12tglinethru 25331 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
1615adantr 480 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
171, 16breqtrrd 4611 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷)
18 oppperpex.3 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝐶𝐷)
1918ad3antrrr 762 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ¬ 𝐶𝐷)
20 hpg.d . . . . . . 7 = (dist‘𝐺)
216adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
228adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
2310adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐴𝐷)
24 simprl 790 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝑝𝑃)
252, 20, 3, 4, 21, 22, 23, 24, 17footne 25415 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ¬ 𝑝𝐷)
2614ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝐴𝑥)
2726neneqd 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → ¬ 𝐴 = 𝑥)
28 simprrl 800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥))
2928orcomd 402 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝐴 = 𝑥𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥)))
3029ord 391 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (¬ 𝐴 = 𝑥𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥)))
3127, 30mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥))
3215ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝐷 = (𝐴𝐿𝑥))
3331, 32eleqtrrd 2691 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡𝐷)
34 simprrr 801 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
3533, 34jca 553 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ (𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝑡𝐷𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
3635ex 449 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → ((𝑡𝑃 ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → (𝑡𝐷𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
3736reximdv2 2997 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → (∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
3837imp 444 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
3938anasss 677 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
4039anasss 677 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))
4119, 25, 40jca31 555 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ((¬ 𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝑝𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))
42 hpg.o . . . . . . . . 9 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
43 oppperpex.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶𝑃)
4443ad2antrr 758 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐶𝑃)
4544ad2antrr 758 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → 𝐶𝑃)
46 simplr 788 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → 𝑝𝑃)
472, 20, 3, 42, 45, 46islnopp 25431 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝑝𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
4847adantr 480 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥)) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝑝𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
4948anasss 677 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝑝𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝)))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝑝𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
5049anasss 677 . . . . 5 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → (𝐶𝑂𝑝 ↔ ((¬ 𝐶𝐷 ∧ ¬ 𝑝𝐷) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
5141, 50mpbird 246 . . . 4 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → 𝐶𝑂𝑝)
5217, 51jca 553 . . 3 ((((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) ∧ (𝑝𝑃 ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝐶𝑂𝑝))
53 oppperpex.4 . . . . 5 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
5453ad2antrr 758 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → 𝐺DimTarskiG≥2)
552, 20, 3, 4, 6, 11, 13, 44, 14, 54colperpex 25425 . . 3 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑥) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝑥) ∨ 𝐴 = 𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝐶𝐼𝑝))))
5652, 55reximddv 3001 . 2 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ 𝐴𝑥) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝐶𝑂𝑝))
572, 3, 4, 5, 7, 9tglnpt2 25336 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐷 𝐴𝑥)
5856, 57r19.29a 3060 1 (𝜑 → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)𝐷𝐶𝑂𝑝))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537   class class class wbr 4583  {copab 4642  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  2c2 10947  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  DimTarskiG≥cstrkgld 25133  Itvcitv 25135  LineGclng 25136  hlGchlg 25295  ⟂Gcperpg 25390 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkgld 25151  df-trkg 25152  df-cgrg 25206  df-leg 25278  df-mir 25348  df-rag 25389  df-perpg 25391 This theorem is referenced by:  lnperpex  25495
 Copyright terms: Public domain W3C validator