Theorem opnneip 20733

Description: An open set is a neighborhood of any of its members. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)

Assertion

Ref	Expression
opnneip	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))

Proof of Theorem opnneip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4280	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝑁 → {𝑃} ⊆ 𝑁)
2		opnneiss 20732	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ {𝑃} ⊆ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))
3	1, 2	syl3an3 1353	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ 𝐽 ∧ 𝑃 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  Topctop 20517  neicnei 20711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-top 20521  df-nei 20712

This theorem is referenced by:  opnnei  20734  neindisj2  20737  iscnp4  20877  cnpnei  20878  hausnei2  20967  llynlly  21090  nllyrest  21099  nllyidm  21102  hausllycmp  21107  cldllycmp  21108  txnlly  21250  flimfil  21583  flimopn  21589  fbflim2  21591  hausflimlem  21593  flimcf  21596  flimsncls  21600  fclsnei  21633  fcfnei  21649  cnextcn  21681  utopreg  21866  blnei  22117  cnllycmp  22563  flimcfil  22920  limcflf  23451  rrhre  29393  cvmlift2lem12  30550