Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opltcon3b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opltcon3b 33509
 Description: Contraposition law for strict ordering in orthoposets. (chpsscon3 27746 analog.) (Contributed by NM, 4-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
opltcon3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
opltcon3.s < = (lt‘𝐾)
opltcon3.o = (oc‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
opltcon3b ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ( 𝑌) < ( 𝑋)))

Proof of Theorem opltcon3b
StepHypRef Expression
1 opltcon3.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2610 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 opltcon3.o . . . 4 = (oc‘𝐾)
41, 2, 3oplecon3b 33505 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ ( 𝑌)(le‘𝐾)( 𝑋)))
51, 2, 3oplecon3b 33505 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌)))
653com23 1263 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌)))
76notbid 307 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ ¬ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌)))
84, 7anbi12d 743 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ (( 𝑌)(le‘𝐾)( 𝑋) ∧ ¬ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌))))
9 opposet 33486 . . 3 (𝐾 ∈ OP → 𝐾 ∈ Poset)
10 opltcon3.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
111, 2, 10pltval3 16790 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋)))
129, 11syl3an1 1351 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ∧ ¬ 𝑌(le‘𝐾)𝑋)))
1393ad2ant1 1075 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
141, 3opoccl 33499 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
15143adant2 1073 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑌) ∈ 𝐵)
161, 3opoccl 33499 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
17163adant3 1074 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ( 𝑋) ∈ 𝐵)
181, 2, 10pltval3 16790 . . 3 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋) ∈ 𝐵) → (( 𝑌) < ( 𝑋) ↔ (( 𝑌)(le‘𝐾)( 𝑋) ∧ ¬ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌))))
1913, 15, 17, 18syl3anc 1318 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (( 𝑌) < ( 𝑋) ↔ (( 𝑌)(le‘𝐾)( 𝑋) ∧ ¬ ( 𝑋)(le‘𝐾)( 𝑌))))
208, 12, 193bitr4d 299 1 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌 ↔ ( 𝑌) < ( 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775  occoc 15776  Posetcpo 16763  ltcplt 16764  OPcops 33477 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-oposet 33481 This theorem is referenced by:  opltcon1b  33510  opltcon2b  33511  cvrcon3b  33582  1cvratex  33777  lhprelat3N  34344
 Copyright terms: Public domain W3C validator