Theorem opeo 14927

Description: The sum of an odd and an even is odd. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
opeo	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem opeo

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 14903	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴))
2		2z 11286	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
3		divides 14823	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
4	2, 3	mpan 702	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
5	1, 4	bi2anan9 913	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵)))
6		reeanv 3086	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵))
7		zaddcl 11294	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ)
8		zcn 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
9		zcn 11259	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
10		2cn 10968	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
11		adddi 9904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 + 𝑏)) = ((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)))
12	10, 11	mp3an1 1403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 + 𝑏)) = ((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)))
13	12	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + 1))
14		mulcl 9899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
15	10, 14	mpan 702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
16		mulcl 9899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
17	10, 16	mpan 702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
18		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
19		add32 10133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (2 · 𝑏)))
20	18, 19	mp3an3 1405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (2 · 𝑏)))
21	15, 17, 20	syl2an 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + (2 · 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (2 · 𝑏)))
22		mulcom 9901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) = (𝑏 · 2))
23	10, 22	mpan 702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) = (𝑏 · 2))
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) = (𝑏 · 2))
25	24	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) + (2 · 𝑏)) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)))
26	13, 21, 25	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)))
27	8, 9, 26	syl2an 493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)))
28		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + 𝑏) → (2 · 𝑐) = (2 · (𝑎 + 𝑏)))
29	28	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + 𝑏) → ((2 · 𝑐) + 1) = ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + 1))
30	29	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = (𝑎 + 𝑏) → (((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)) ↔ ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2))))
31	30	rspcev 3282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 + 𝑏) ∈ ℤ ∧ ((2 · (𝑎 + 𝑏)) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2))) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)))
32	7, 27, 31	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)))
33		oveq12 6558	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)) = (𝐴 + 𝐵))
34	33	eqeq2d 2620	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)) ↔ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵)))
35	34	rexbidv 3034	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → (∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (((2 · 𝑎) + 1) + (𝑏 · 2)) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵)))
36	32, 35	syl5ibcom 234	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵)))
37	36	rexlimivv 3018	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵))
38	6, 37	sylbir 224	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑏 · 2) = 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵))
39	5, 38	syl6bi 242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵)))
40	39	imp 444	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵))
41	40	an4s 865	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵))
42		zaddcl 11294	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
43	42	ad2ant2r 779	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
44		odd2np1 14903	. . 3 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵)))
45	43, 44	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → (¬ 2 ∥ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑐 ∈ ℤ ((2 · 𝑐) + 1) = (𝐴 + 𝐵)))
46	41, 45	mpbird 246	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  2c2 10947  ℤcz 11254   ∥ cdvds 14821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-dvds 14822

This theorem is referenced by:  sumodd  14949