Theorem opelreal 9830

Description: Ordered pair membership in class of real subset of complex numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
opelreal	⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ R)

Proof of Theorem opelreal

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. 2 ⊢ 0R = 0R
2		df-r 9825	. . . 4 ⊢ ℝ = (R × {0R})
3	2	eleq2i 2680	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ ⟨𝐴, 0R⟩ ∈ (R × {0R}))
4		opelxp 5070	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ (R × {0R}) ↔ (𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ {0R}))
5		0r 9780	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
6	5	elexi 3186	. . . . 5 ⊢ 0R ∈ V
7	6	elsn 4140	. . . 4 ⊢ (0R ∈ {0R} ↔ 0R = 0R)
8	7	anbi2i 726	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 0R ∈ {0R}) ↔ (𝐴 ∈ R ∧ 0R = 0R))
9	3, 4, 8	3bitri 285	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ (𝐴 ∈ R ∧ 0R = 0R))
10	1, 9	mpbiran2 956	1 ⊢ (⟨𝐴, 0R⟩ ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ R)

Syntax hints:   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {csn 4125  ⟨cop 4131   × cxp 5036  Rcnr 9566  0_Rc0r 9567  ℝcr 9814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-ni 9573  df-pli 9574  df-mi 9575  df-lti 9576  df-plpq 9609  df-mpq 9610  df-ltpq 9611  df-enq 9612  df-nq 9613  df-erq 9614  df-plq 9615  df-mq 9616  df-1nq 9617  df-rq 9618  df-ltnq 9619  df-np 9682  df-1p 9683  df-enr 9756  df-nr 9757  df-0r 9761  df-r 9825

This theorem is referenced by:  ltresr  9840  ax1cn  9849  axaddrcl  9852  axmulrcl  9854  axrnegex  9862  axrrecex  9863  axcnre  9864  axpre-sup  9869