Theorem onenon 8658

Description: Every ordinal number is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onenon	⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Proof of Theorem onenon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrefg 7873	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ≈ 𝐴)
2		isnumi 8655	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
3	1, 2	mpdan 699	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Oncon0 5640   ≈ cen 7838  cardccrd 8644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-en 7842  df-card 8648

This theorem is referenced by:  oncardval  8664  oncardid  8665  cardnn  8672  iscard  8684  carduni  8690  nnsdomel  8699  harsdom  8704  pm54.43lem  8708  infxpenlem  8719  infxpidm2  8723  onssnum  8746  alephnbtwn  8777  alephnbtwn2  8778  alephordilem1  8779  alephord2  8782  alephsdom  8792  cardaleph  8795  infenaleph  8797  alephinit  8801  iunfictbso  8820  ficardun2  8908  pwsdompw  8909  infunsdom1  8918  ackbij2  8948  cfflb  8964  sdom2en01  9007  fin23lem22  9032  iunctb  9275  alephadd  9278  alephmul  9279  alephexp1  9280  alephsuc3  9281  canthp1lem2  9354  pwfseqlem4a  9362  pwfseqlem4  9363  pwfseqlem5  9364  gchaleph  9372  gchaleph2  9373  hargch  9374  cygctb  18116  ttac  36621  numinfctb  36692  isnumbasgrplem2  36693  isnumbasabl  36695