HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  omlsii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem omlsii 27646
Description: Subspace inference form of orthomodular law in the Hilbert lattice. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 15-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
omlsi.1 𝐴C
omlsi.2 𝐵S
omlsi.3 𝐴𝐵
omlsi.4 (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0
Assertion
Ref Expression
omlsii 𝐴 = 𝐵

Proof of Theorem omlsii
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omlsi.3 . 2 𝐴𝐵
2 omlsi.1 . . . . 5 𝐴C
3 omlsi.2 . . . . . 6 𝐵S
43sheli 27455 . . . . 5 (𝑥𝐵𝑥 ∈ ℋ)
52, 4pjhthlem2 27635 . . . 4 (𝑥𝐵 → ∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = (𝑦 + 𝑧))
6 eqeq1 2614 . . . . . . . . 9 (𝑥 = if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (𝑦 + 𝑧)))
7 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 (𝑥 = if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) → (𝑥𝐴 ↔ if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴))
86, 7imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑥 = if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) → ((𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴) ↔ (if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (𝑦 + 𝑧) → if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴)))
9 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) → (𝑦 + 𝑧) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + 𝑧))
109eqeq2d 2620 . . . . . . . . 9 (𝑦 = if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) → (if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (𝑦 + 𝑧) ↔ if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + 𝑧)))
1110imbi1d 330 . . . . . . . 8 (𝑦 = if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) → ((if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (𝑦 + 𝑧) → if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴) ↔ (if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + 𝑧) → if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴)))
12 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0) → (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + 𝑧) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0)))
1312eqeq2d 2620 . . . . . . . . 9 (𝑧 = if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0) → (if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + 𝑧) ↔ if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0))))
1413imbi1d 330 . . . . . . . 8 (𝑧 = if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0) → ((if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + 𝑧) → if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴) ↔ (if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0)) → if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴)))
152chshii 27468 . . . . . . . . 9 𝐴S
16 omlsi.4 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0
17 sh0 27457 . . . . . . . . . . 11 (𝐵S → 0𝐵)
183, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0𝐵
1918elimel 4100 . . . . . . . . 9 if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐵
20 ch0 27469 . . . . . . . . . . 11 (𝐴C → 0𝐴)
212, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0𝐴
2221elimel 4100 . . . . . . . . 9 if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) ∈ 𝐴
23 shocsh 27527 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴S → (⊥‘𝐴) ∈ S )
2415, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (⊥‘𝐴) ∈ S
25 sh0 27457 . . . . . . . . . . 11 ((⊥‘𝐴) ∈ S → 0 ∈ (⊥‘𝐴))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (⊥‘𝐴)
2726elimel 4100 . . . . . . . . 9 if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0) ∈ (⊥‘𝐴)
2815, 3, 1, 16, 19, 22, 27omlsilem 27645 . . . . . . . 8 (if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) = (if(𝑦𝐴, 𝑦, 0) + if(𝑧 ∈ (⊥‘𝐴), 𝑧, 0)) → if(𝑥𝐵, 𝑥, 0) ∈ 𝐴)
298, 11, 14, 28dedth3h 4091 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑦𝐴𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴))
30293expia 1259 . . . . . 6 ((𝑥𝐵𝑦𝐴) → (𝑧 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴)))
3130rexlimdv 3012 . . . . 5 ((𝑥𝐵𝑦𝐴) → (∃𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴))
3231rexlimdva 3013 . . . 4 (𝑥𝐵 → (∃𝑦𝐴𝑧 ∈ (⊥‘𝐴)𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → 𝑥𝐴))
335, 32mpd 15 . . 3 (𝑥𝐵𝑥𝐴)
3433ssriv 3572 . 2 𝐵𝐴
351, 34eqssi 3584 1 𝐴 = 𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wrex 2897  cin 3539  wss 3540  ifcif 4036  cfv 5804  (class class class)co 6549   + cva 27161  0c0v 27165   S csh 27169   C cch 27170  cort 27171  0c0h 27176
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895  ax-hilex 27240  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr1 27249  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326  ax-hcompl 27443
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lm 20843  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-cfil 22861  df-cau 22862  df-cmet 22863  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-gdiv 26734  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-vs 26838  df-nmcv 26839  df-ims 26840  df-ssp 26961  df-ph 27052  df-cbn 27103  df-hnorm 27209  df-hba 27210  df-hvsub 27212  df-hlim 27213  df-hcau 27214  df-sh 27448  df-ch 27462  df-oc 27493  df-ch0 27494
This theorem is referenced by:  omlsi  27647  ococi  27648  qlaxr3i  27879  hatomistici  28605
  Copyright terms: Public domain W3C validator