Theorem oiexg 8323

Description: The order isomorphism on a set is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oicl.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
oiexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)

Proof of Theorem oiexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oicl.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
2	1	ordtype 8320	. . . 4 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
3		isof1o 6473	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴)
4		f1of1 6049	. . . 4 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴 → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴)
5	2, 3, 4	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴)
6		f1dmex 7029	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → dom 𝐹 ∈ V)
7		f1f 6014	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴 → 𝐹:dom 𝐹⟶𝐴)
8		fex 6394	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
9	7, 8	sylan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
10	6, 9	syldan 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 ∈ V)
11	10	expcom 450	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐹:dom 𝐹–1-1→𝐴 → 𝐹 ∈ V))
12	5, 11	syl5 33	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 ∈ V))
13	1	oi0 8316	. . 3 ⊢ (¬ (𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 = ∅)
14		0ex 4718	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
15	13, 14	syl6eqel 2696	. 2 ⊢ (¬ (𝑅 We 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 ∈ V)
16	12, 15	pm2.61d1 170	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874   E cep 4947   Se wse 4995   We wwe 4996  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  –1-1-onto→wf1o 5803   Isom wiso 5805  OrdIsocoi 8297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-oi 8298

This theorem is referenced by:  oion  8324  oien  8326  cantnfval  8448  wemapwe  8477  finnisoeu  8819  cofsmo  8974