Theorem ogrpaddlt 29049

Description: In an ordered group, strict ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ogrpaddlt.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ogrpaddlt.1	⊢ < = (lt‘𝐺)
ogrpaddlt.2	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ogrpaddlt	⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 + 𝑍) < (𝑌 + 𝑍))

Proof of Theorem ogrpaddlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isogrp 29033	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ oGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ oMnd))
2	1	simprbi 479	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ oGrp → 𝐺 ∈ oMnd)
3	2	3ad2ant1 1075	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐺 ∈ oMnd)
4		simp2 1055	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵))
5		simp1 1054	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝐺 ∈ oGrp)
6		simp21 1087	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7		simp22 1088	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑌 ∈ 𝐵)
8		simp3 1056	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 < 𝑌)
9		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (le‘𝐺) = (le‘𝐺)
10		ogrpaddlt.1	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝐺)
11	9, 10	pltle 16784	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝐺)𝑌))
12	11	imp 444	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋(le‘𝐺)𝑌)
13	5, 6, 7, 8, 12	syl31anc 1321	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋(le‘𝐺)𝑌)
14		ogrpaddlt.0	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
15		ogrpaddlt.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
16	14, 9, 15	omndadd 29037	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(le‘𝐺)𝑌) → (𝑋 + 𝑍)(le‘𝐺)(𝑌 + 𝑍))
17	3, 4, 13, 16	syl3anc 1318	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 + 𝑍)(le‘𝐺)(𝑌 + 𝑍))
18	10	pltne 16785	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≠ 𝑌))
19	18	imp 444	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ oGrp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
20	5, 6, 7, 8, 19	syl31anc 1321	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
21		ogrpgrp 29034	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ oGrp → 𝐺 ∈ Grp)
22	14, 15	grprcan 17278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) = (𝑌 + 𝑍) ↔ 𝑋 = 𝑌))
23	22	biimpd 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) = (𝑌 + 𝑍) → 𝑋 = 𝑌))
24	21, 23	sylan 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑍) = (𝑌 + 𝑍) → 𝑋 = 𝑌))
25	24	necon3d 2803	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≠ 𝑌 → (𝑋 + 𝑍) ≠ (𝑌 + 𝑍)))
26	25	3impia 1253	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋 + 𝑍) ≠ (𝑌 + 𝑍))
27	5, 4, 20, 26	syl3anc 1318	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 + 𝑍) ≠ (𝑌 + 𝑍))
28		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (𝑋 + 𝑍) ∈ V
29		ovex 6577	. . . 4 ⊢ (𝑌 + 𝑍) ∈ V
30	9, 10	pltval 16783	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 + 𝑍) ∈ V ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ V) → ((𝑋 + 𝑍) < (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑋 + 𝑍)(le‘𝐺)(𝑌 + 𝑍) ∧ (𝑋 + 𝑍) ≠ (𝑌 + 𝑍))))
31	28, 29, 30	mp3an23 1408	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ oGrp → ((𝑋 + 𝑍) < (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑋 + 𝑍)(le‘𝐺)(𝑌 + 𝑍) ∧ (𝑋 + 𝑍) ≠ (𝑌 + 𝑍))))
32	31	3ad2ant1 1075	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → ((𝑋 + 𝑍) < (𝑌 + 𝑍) ↔ ((𝑋 + 𝑍)(le‘𝐺)(𝑌 + 𝑍) ∧ (𝑋 + 𝑍) ≠ (𝑌 + 𝑍))))
33	17, 27, 32	mpbir2and 959	1 ⊢ ((𝐺 ∈ oGrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → (𝑋 + 𝑍) < (𝑌 + 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  lecple 15775  ltcplt 16764  Grpcgrp 17245  oMndcomnd 29028  oGrpcogrp 29029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-0g 15925  df-plt 16781  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-omnd 29030  df-ogrp 29031

This theorem is referenced by:  ogrpaddltbi  29050  ogrpaddltrd  29051  ogrpinv0lt  29054  isarchi3  29072  archirngz  29074  archiabllem1b  29077  archiabllem2c  29080  ofldchr  29145