Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oemapso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oemapso 8462
 Description: The relation 𝑇 is a strict order on 𝑆 (a corollary of wemapso2 8341). (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cantnfs.s 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
cantnfs.a (𝜑𝐴 ∈ On)
cantnfs.b (𝜑𝐵 ∈ On)
oemapval.t 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
Assertion
Ref Expression
oemapso (𝜑𝑇 Or 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐵   𝑤,𝐴,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem oemapso
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cantnfs.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ On)
2 eloni 5650 . . . . 5 (𝐵 ∈ On → Ord 𝐵)
3 ordwe 5653 . . . . 5 (Ord 𝐵 → E We 𝐵)
4 weso 5029 . . . . 5 ( E We 𝐵 → E Or 𝐵)
51, 2, 3, 44syl 19 . . . 4 (𝜑 → E Or 𝐵)
6 cnvso 5591 . . . 4 ( E Or 𝐵 E Or 𝐵)
75, 6sylib 207 . . 3 (𝜑 E Or 𝐵)
8 cantnfs.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ On)
9 eloni 5650 . . . 4 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
10 ordwe 5653 . . . 4 (Ord 𝐴 → E We 𝐴)
11 weso 5029 . . . 4 ( E We 𝐴 → E Or 𝐴)
128, 9, 10, 114syl 19 . . 3 (𝜑 → E Or 𝐴)
13 oemapval.t . . . . 5 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
14 fvex 6113 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑧) ∈ V
1514epelc 4951 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ↔ (𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧))
16 vex 3176 . . . . . . . . . . . 12 𝑤 ∈ V
17 vex 3176 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
1816, 17brcnv 5227 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 E 𝑧𝑧 E 𝑤)
19 epel 4952 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 E 𝑤𝑧𝑤)
2018, 19bitri 263 . . . . . . . . . 10 (𝑤 E 𝑧𝑧𝑤)
2120imbi1i 338 . . . . . . . . 9 ((𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)) ↔ (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))
2221ralbii 2963 . . . . . . . 8 (∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)) ↔ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))
2315, 22anbi12i 729 . . . . . . 7 (((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
2423rexbii 3023 . . . . . 6 (∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))) ↔ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤))))
2524opabbii 4649 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑧𝑤 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
2613, 25eqtr4i 2635 . . . 4 𝑇 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧𝐵 ((𝑥𝑧) E (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 (𝑤 E 𝑧 → (𝑥𝑤) = (𝑦𝑤)))}
27 breq1 4586 . . . . 5 (𝑔 = 𝑥 → (𝑔 finSupp ∅ ↔ 𝑥 finSupp ∅))
2827cbvrabv 3172 . . . 4 {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
2926, 28wemapso2 8341 . . 3 ((𝐵 ∈ On ∧ E Or 𝐵 ∧ E Or 𝐴) → 𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
301, 7, 12, 29syl3anc 1318 . 2 (𝜑𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
31 cantnfs.s . . . 4 𝑆 = dom (𝐴 CNF 𝐵)
32 eqid 2610 . . . . 5 {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} = {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}
3332, 8, 1cantnfdm 8444 . . . 4 (𝜑 → dom (𝐴 CNF 𝐵) = {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
3431, 33syl5eq 2656 . . 3 (𝜑𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅})
35 soeq2 4979 . . 3 (𝑆 = {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅} → (𝑇 Or 𝑆𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
3634, 35syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑇 Or 𝑆𝑇 Or {𝑔 ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ∣ 𝑔 finSupp ∅}))
3730, 36mpbird 246 1 (𝜑𝑇 Or 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  {copab 4642   E cep 4947   Or wor 4958   We wwe 4996  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038  Ord word 5639  Oncon0 5640  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744   finSupp cfsupp 8158   CNF ccnf 8441 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-seqom 7430  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-cnf 8442 This theorem is referenced by:  cantnf  8473
 Copyright terms: Public domain W3C validator