Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oduprs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oduprs 28987
 Description: Being a preset is a self-dual property. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Sep-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
oduprs.d 𝐷 = (ODual‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
oduprs (𝐾 ∈ Preset → 𝐷 ∈ Preset )

Proof of Theorem oduprs
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . 14 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
31, 2isprs 16753 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ Preset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
43simprbi 479 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Preset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
54r19.21bi 2916 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
65r19.21bi 2916 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
76r19.21bi 2916 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
87simpld 474 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥(le‘𝐾)𝑥)
9 vex 3176 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
109, 9brcnv 5227 . . . . . . . 8 (𝑥(le‘𝐾)𝑥𝑥(le‘𝐾)𝑥)
118, 10sylibr 223 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥(le‘𝐾)𝑥)
121, 2isprs 16753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ Preset ↔ (𝐾 ∈ V ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))))
1312simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ Preset → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
1413r19.21bi 2916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
1514r19.21bi 2916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)(𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
1615r19.21bi 2916 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑧 ∧ ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
1716simprd 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
1817an32s 842 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
1918ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
2019an32s 842 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦 ∈ (Base‘𝐾) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥)))
2120imp 444 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
2221an32s 842 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥) → 𝑧(le‘𝐾)𝑥))
23 vex 3176 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
249, 23brcnv 5227 . . . . . . . . 9 (𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥)
25 vex 3176 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
2623, 25brcnv 5227 . . . . . . . . 9 (𝑦(le‘𝐾)𝑧𝑧(le‘𝐾)𝑦)
2724, 26anbi12ci 730 . . . . . . . 8 ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) ↔ (𝑧(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑥))
289, 25brcnv 5227 . . . . . . . 8 (𝑥(le‘𝐾)𝑧𝑧(le‘𝐾)𝑥)
2922, 27, 283imtr4g 284 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))
3011, 29jca 553 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
3130ralrimiva 2949 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
3231ralrimiva 2949 . . . 4 ((𝐾 ∈ Preset ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
3332ralrimiva 2949 . . 3 (𝐾 ∈ Preset → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
34 oduprs.d . . . 4 𝐷 = (ODual‘𝐾)
35 fvex 6113 . . . 4 (ODual‘𝐾) ∈ V
3634, 35eqeltri 2684 . . 3 𝐷 ∈ V
3733, 36jctil 558 . 2 (𝐾 ∈ Preset → (𝐷 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
3834, 1odubas 16956 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐷)
3934, 2oduleval 16954 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐷)
4038, 39isprs 16753 . 2 (𝐷 ∈ Preset ↔ (𝐷 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑧 ∈ (Base‘𝐾)(𝑥(le‘𝐾)𝑥 ∧ ((𝑥(le‘𝐾)𝑦𝑦(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
4137, 40sylibr 223 1 (𝐾 ∈ Preset → 𝐷 ∈ Preset )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  ◡ccnv 5037  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  lecple 15775   Preset cpreset 16749  ODualcodu 16951 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ple 15788  df-preset 16751  df-odu 16952 This theorem is referenced by:  ordtcnvNEW  29294
 Copyright terms: Public domain W3C validator