Theorem odumeet 16963

Description: Meets in a dual order are joins in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odumeet.j	⊢ ∨ = (join‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
odumeet	⊢ ∨ = (meet‘𝐷)

Proof of Theorem odumeet

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odumeet.j	. 2 ⊢ ∨ = (join‘𝑂)
2		oduglb.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
3		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
4	2, 3	oduglb 16962	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
5	4	breqd 4594	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ V → ({𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐 ↔ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐))
6	5	oprabbidv 6607	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐} = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
7		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (join‘𝑂) = (join‘𝑂)
8	3, 7	joinfval 16824	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝑂)𝑐})
9		fvex 6113	. . . . . 6 ⊢ (ODual‘𝑂) ∈ V
10	2, 9	eqeltri 2684	. . . . 5 ⊢ 𝐷 ∈ V
11		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
12		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (meet‘𝐷) = (meet‘𝐷)
13	11, 12	meetfval 16838	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ V → (meet‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
14	10, 13	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝐷)𝑐})
15	6, 8, 14	3eqtr4d 2654	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = (meet‘𝐷))
16		fvprc 6097	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = ∅)
17		fvprc 6097	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
18	2, 17	syl5eq 2656	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
19	18	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = (meet‘∅))
20		meet0 16960	. . . . 5 ⊢ (meet‘∅) = ∅
21	19, 20	syl6eq 2660	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (meet‘𝐷) = ∅)
22	16, 21	eqtr4d 2647	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (join‘𝑂) = (meet‘𝐷))
23	15, 22	pm2.61i 175	. 2 ⊢ (join‘𝑂) = (meet‘𝐷)
24	1, 23	eqtri 2632	1 ⊢ ∨ = (meet‘𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  {coprab 6550  lubclub 16765  glbcglb 16766  joincjn 16767  meetcmee 16768  ODualcodu 16951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ple 15788  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-odu 16952

This theorem is referenced by:  odulatb  16966  latdisd  17013  odudlatb  17019  dlatjmdi  17020