Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odujoin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odujoin 16965
 Description: Joins in a dual order are meets in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odujoin.m = (meet‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
odujoin = (join‘𝐷)

Proof of Theorem odujoin
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odujoin.m . 2 = (meet‘𝑂)
2 oduglb.d . . . . . . 7 𝐷 = (ODual‘𝑂)
3 eqid 2610 . . . . . . 7 (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
42, 3odulub 16964 . . . . . 6 (𝑂 ∈ V → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
54breqd 4594 . . . . 5 (𝑂 ∈ V → ({𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐 ↔ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐))
65oprabbidv 6607 . . . 4 (𝑂 ∈ V → {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐} = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
7 eqid 2610 . . . . 5 (meet‘𝑂) = (meet‘𝑂)
83, 7meetfval 16838 . . . 4 (𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐})
9 fvex 6113 . . . . . 6 (ODual‘𝑂) ∈ V
102, 9eqeltri 2684 . . . . 5 𝐷 ∈ V
11 eqid 2610 . . . . . 6 (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
12 eqid 2610 . . . . . 6 (join‘𝐷) = (join‘𝐷)
1311, 12joinfval 16824 . . . . 5 (𝐷 ∈ V → (join‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
1410, 13mp1i 13 . . . 4 (𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
156, 8, 143eqtr4d 2654 . . 3 (𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = (join‘𝐷))
16 fvprc 6097 . . . 4 𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = ∅)
17 fvprc 6097 . . . . . . 7 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
182, 17syl5eq 2656 . . . . . 6 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
1918fveq2d 6107 . . . . 5 𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = (join‘∅))
20 join0 16961 . . . . 5 (join‘∅) = ∅
2119, 20syl6eq 2660 . . . 4 𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = ∅)
2216, 21eqtr4d 2647 . . 3 𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = (join‘𝐷))
2315, 22pm2.61i 175 . 2 (meet‘𝑂) = (join‘𝐷)
241, 23eqtri 2632 1 = (join‘𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  {coprab 6550  lubclub 16765  glbcglb 16766  joincjn 16767  meetcmee 16768  ODualcodu 16951 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ple 15788  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-odu 16952 This theorem is referenced by:  odulatb  16966  latmass  17011  latdisd  17013  odudlatb  17019  dlatjmdi  17020
 Copyright terms: Public domain W3C validator