Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odrngstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odrngstr 15889
 Description: Functionality of an ordered metric ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
odrngstr.w 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
Assertion
Ref Expression
odrngstr 𝑊 Struct ⟨1, 12⟩

Proof of Theorem odrngstr
StepHypRef Expression
1 odrngstr.w . 2 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
2 eqid 2610 . . . 4 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
32rngstr 15823 . . 3 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, 3⟩
4 9nn 11069 . . . 4 9 ∈ ℕ
5 tsetndx 15863 . . . 4 (TopSet‘ndx) = 9
6 9lt10 11549 . . . 4 9 < 10
7 10nn 11390 . . . 4 10 ∈ ℕ
8 plendx 15870 . . . 4 (le‘ndx) = 10
9 1nn0 11185 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
10 0nn0 11184 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
11 2nn 11062 . . . . 5 2 ∈ ℕ
12 2pos 10989 . . . . 5 0 < 2
139, 10, 11, 12declt 11406 . . . 4 10 < 12
149, 11decnncl 11394 . . . 4 12 ∈ ℕ
15 dsndx 15885 . . . 4 (dist‘ndx) = 12
164, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15strle3 15802 . . 3 {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} Struct ⟨9, 12⟩
17 3lt9 11104 . . 3 3 < 9
183, 16, 17strleun 15799 . 2 ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) Struct ⟨1, 12⟩
191, 18eqbrtri 4604 1 𝑊 Struct ⟨1, 12⟩
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∪ cun 3538  {ctp 4129  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  3c3 10948  9c9 10954  ;cdc 11369   Struct cstr 15691  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  TopSetcts 15774  lecple 15775  distcds 15777 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791 This theorem is referenced by:  odrngbas  15890  odrngplusg  15891  odrngmulr  15892  odrngtset  15893  odrngle  15894  odrngds  15895  xrsstr  19579
 Copyright terms: Public domain W3C validator