Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvlsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvlsp 19839
 Description: The orthocomplement of a linear span. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvlsp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvlsp.o = (ocv‘𝑊)
ocvlsp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ocvlsp ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( ‘(𝑁𝑆)) = ( 𝑆))

Proof of Theorem ocvlsp
StepHypRef Expression
1 phllmod 19794 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2 ocvlsp.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 ocvlsp.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
42, 3lspssid 18806 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝑁𝑆))
51, 4sylan 487 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝑁𝑆))
6 ocvlsp.o . . . 4 = (ocv‘𝑊)
76ocv2ss 19836 . . 3 (𝑆 ⊆ (𝑁𝑆) → ( ‘(𝑁𝑆)) ⊆ ( 𝑆))
85, 7syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( ‘(𝑁𝑆)) ⊆ ( 𝑆))
92, 6ocvss 19833 . . . . 5 ( 𝑆) ⊆ 𝑉
109a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ⊆ 𝑉)
112, 6ocvocv 19834 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( 𝑆) ⊆ 𝑉) → ( 𝑆) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑆))))
1210, 11syldan 486 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑆))))
131adantr 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
14 eqid 2610 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
152, 6, 14ocvlss 19835 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( 𝑆) ⊆ 𝑉) → ( ‘( 𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1610, 15syldan 486 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( ‘( 𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
172, 6ocvocv 19834 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
1814, 3lspssp 18809 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( ‘( 𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆))) → (𝑁𝑆) ⊆ ( ‘( 𝑆)))
1913, 16, 17, 18syl3anc 1318 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑁𝑆) ⊆ ( ‘( 𝑆)))
206ocv2ss 19836 . . . 4 ((𝑁𝑆) ⊆ ( ‘( 𝑆)) → ( ‘( ‘( 𝑆))) ⊆ ( ‘(𝑁𝑆)))
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( ‘( ‘( 𝑆))) ⊆ ( ‘(𝑁𝑆)))
2212, 21sstrd 3578 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ⊆ ( ‘(𝑁𝑆)))
238, 22eqssd 3585 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( ‘(𝑁𝑆)) = ( 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ‘cfv 5804  Basecbs 15695  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  PreHilcphl 19788  ocvcocv 19823 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-rnghom 18538  df-staf 18668  df-srng 18669  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lmhm 18843  df-lvec 18924  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-phl 19790  df-ocv 19826 This theorem is referenced by:  ocvz  19841  obselocv  19891  obslbs  19893
 Copyright terms: Public domain W3C validator