Theorem oaord1 7518

Description: An ordinal is less than its sum with a nonzero ordinal. Theorem 18 of [Suppes] p. 209 and its converse. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaord1	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵)))

Proof of Theorem oaord1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 5695	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ On
2		oaord 7514	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑜 ∅) ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
3	1, 2	mp3an1 1403	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑜 ∅) ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
4		oa0 7483	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)
6	5	eleq1d 2672	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ((𝐴 +𝑜 ∅) ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
7	3, 6	bitrd 267	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
8	7	ancoms 468	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +𝑜 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∅c0 3874  Oncon0 5640  (class class class)co 6549   +_𝑜 coa 7444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-oadd 7451

This theorem is referenced by:  oaordex  7525  omordi  7533  wunex3  9442