Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvz 26908
 Description: The norm of a vector is zero iff the vector is zero. First part of Problem 2 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 24-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvz.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvz.5 𝑍 = (0vec𝑈)
nvz.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvz ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))

Proof of Theorem nvz
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nvz.1 . . . . . 6 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2 eqid 2610 . . . . . 6 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
3 eqid 2610 . . . . . 6 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 nvz.5 . . . . . 6 𝑍 = (0vec𝑈)
5 nvz.6 . . . . . 6 𝑁 = (normCV𝑈)
61, 2, 3, 4, 5nvi 26853 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → (⟨( +𝑣𝑈), ( ·𝑠OLD𝑈)⟩ ∈ CVecOLD𝑁:𝑋⟶ℝ ∧ ∀𝑥𝑋 (((𝑁𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁𝑥)) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦)))))
76simp3d 1068 . . . 4 (𝑈 ∈ NrmCVec → ∀𝑥𝑋 (((𝑁𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁𝑥)) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦))))
8 simp1 1054 . . . . 5 ((((𝑁𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁𝑥)) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦))) → ((𝑁𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍))
98ralimi 2936 . . . 4 (∀𝑥𝑋 (((𝑁𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ∧ ∀𝑦 ∈ ℂ (𝑁‘(𝑦( ·𝑠OLD𝑈)𝑥)) = ((abs‘𝑦) · (𝑁𝑥)) ∧ ∀𝑦𝑋 (𝑁‘(𝑥( +𝑣𝑈)𝑦)) ≤ ((𝑁𝑥) + (𝑁𝑦))) → ∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍))
10 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑁𝑥) = (𝑁𝐴))
1110eqeq1d 2612 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑁𝑥) = 0 ↔ (𝑁𝐴) = 0))
12 eqeq1 2614 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 = 𝑍𝐴 = 𝑍))
1311, 12imbi12d 333 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑁𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) ↔ ((𝑁𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍)))
1413rspccv 3279 . . . 4 (∀𝑥𝑋 ((𝑁𝑥) = 0 → 𝑥 = 𝑍) → (𝐴𝑋 → ((𝑁𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍)))
157, 9, 143syl 18 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐴𝑋 → ((𝑁𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍)))
1615imp 444 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) = 0 → 𝐴 = 𝑍))
17 fveq2 6103 . . . . 5 (𝐴 = 𝑍 → (𝑁𝐴) = (𝑁𝑍))
184, 5nvz0 26907 . . . . 5 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝑁𝑍) = 0)
1917, 18sylan9eqr 2666 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 = 𝑍) → (𝑁𝐴) = 0)
2019ex 449 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → (𝐴 = 𝑍 → (𝑁𝐴) = 0))
2120adantr 480 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴 = 𝑍 → (𝑁𝐴) = 0))
2216, 21impbid 201 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑁𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   · cmul 9820   ≤ cle 9954  abscabs 13822  CVecOLDcvc 26797  NrmCVeccnv 26823   +𝑣 cpv 26824  BaseSetcba 26825   ·𝑠OLD cns 26826  0veccn0v 26827  normCVcnmcv 26829 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-nmcv 26839 This theorem is referenced by:  nvgt0  26913  nv1  26914  imsmetlem  26929  ipz  26958  nmlno0lem  27032  nmblolbii  27038  blocnilem  27043  siii  27092  hlipgt0  27154
 Copyright terms: Public domain W3C validator