Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvnencycllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvnencycllem 26171
 Description: Lemma for 3v3e3cycl1 26172 and 4cycl4v4e 26194. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
nvnencycllem (((Fun 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 < (#‘𝐹))) → ((𝐸‘(𝐹𝑋)) = {𝐴, 𝐵} → {𝐴, 𝐵} ∈ ran 𝐸))

Proof of Theorem nvnencycllem
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . 4 ((Fun 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → Fun 𝐸)
21adantr 480 . . 3 (((Fun 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 < (#‘𝐹))) → Fun 𝐸)
3 wrdf 13165 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
43adantl 481 . . . . 5 ((Fun 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
54adantr 480 . . . 4 (((Fun 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 < (#‘𝐹))) → 𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐸)
6 lencl 13179 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
7 simpl 472 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 < (#‘𝐹))) → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
8 nn0ge0 11195 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑋)
9 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
10 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℝ)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ ℝ)
12 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℕ0) → (#‘𝐹) ∈ ℝ)
14 lelttr 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (#‘𝐹) ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑋𝑋 < (#‘𝐹)) → 0 < (#‘𝐹)))
159, 11, 13, 14syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑋𝑋 < (#‘𝐹)) → 0 < (#‘𝐹)))
16 ltne 10013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ≠ 0)
179, 15, 16syl6an 566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑋 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑋𝑋 < (#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ≠ 0))
1817ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ ℕ0 → ((0 ≤ 𝑋𝑋 < (#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ≠ 0)))
1918com13 86 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ≤ 𝑋𝑋 < (#‘𝐹)) → (𝑋 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ≠ 0)))
2019ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 ≤ 𝑋 → (𝑋 < (#‘𝐹) → (𝑋 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ≠ 0))))
2120com23 84 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝑋 < (#‘𝐹) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ≠ 0))))
228, 21mpcom 37 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝑋 < (#‘𝐹) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ≠ 0)))
2322imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℕ0𝑋 < (#‘𝐹)) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → (#‘𝐹) ≠ 0))
2423impcom 445 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 < (#‘𝐹))) → (#‘𝐹) ≠ 0)
25 elnnne0 11183 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐹) ∈ ℕ ↔ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ≠ 0))
267, 24, 25sylanbrc 695 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 < (#‘𝐹))) → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
27 elfzo0 12376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ (𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (#‘𝐹)))
2827biimpri 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑋 < (#‘𝐹)) → 𝑋 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
29283exp 1256 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑋 < (#‘𝐹) → 𝑋 ∈ (0..^(#‘𝐹)))))
3029com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝑋 < (#‘𝐹) → 𝑋 ∈ (0..^(#‘𝐹)))))
3130impd 446 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → ((𝑋 ∈ ℕ0𝑋 < (#‘𝐹)) → 𝑋 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
3231adantld 482 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐹) ∈ ℕ → (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 < (#‘𝐹))) → 𝑋 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
3326, 32mpcom 37 . . . . . . . 8 (((#‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 < (#‘𝐹))) → 𝑋 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
3433ex 449 . . . . . . 7 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((𝑋 ∈ ℕ0𝑋 < (#‘𝐹)) → 𝑋 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
356, 34syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐸 → ((𝑋 ∈ ℕ0𝑋 < (#‘𝐹)) → 𝑋 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
3635adantl 481 . . . . 5 ((Fun 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) → ((𝑋 ∈ ℕ0𝑋 < (#‘𝐹)) → 𝑋 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
3736imp 444 . . . 4 (((Fun 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 < (#‘𝐹))) → 𝑋 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
385, 37ffvelrnd 6268 . . 3 (((Fun 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 < (#‘𝐹))) → (𝐹𝑋) ∈ dom 𝐸)
39 fvelrn 6260 . . 3 ((Fun 𝐸 ∧ (𝐹𝑋) ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘(𝐹𝑋)) ∈ ran 𝐸)
402, 38, 39syl2anc 691 . 2 (((Fun 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 < (#‘𝐹))) → (𝐸‘(𝐹𝑋)) ∈ ran 𝐸)
41 eleq1 2676 . 2 ((𝐸‘(𝐹𝑋)) = {𝐴, 𝐵} → ((𝐸‘(𝐹𝑋)) ∈ ran 𝐸 ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ ran 𝐸))
4240, 41syl5ibcom 234 1 (((Fun 𝐸𝐹 ∈ Word dom 𝐸) ∧ (𝑋 ∈ ℕ0𝑋 < (#‘𝐹))) → ((𝐸‘(𝐹𝑋)) = {𝐴, 𝐵} → {𝐴, 𝐵} ∈ ran 𝐸))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154 This theorem is referenced by:  3v3e3cycl1  26172  4cycl4v4e  26194  4cycl4dv  26195
 Copyright terms: Public domain W3C validator