Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmul0or Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvmul0or 26889
 Description: If a scalar product is zero, one of its factors must be zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmul0or.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmul0or.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvmul0or.6 𝑍 = (0vec𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvmul0or ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍)))

Proof of Theorem nvmul0or
StepHypRef Expression
1 df-ne 2782 . . . . 5 (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2 oveq2 6557 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = ((1 / 𝐴)𝑆𝑍))
32ad2antlr 759 . . . . . . 7 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = ((1 / 𝐴)𝑆𝑍))
4 recid2 10579 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴) · 𝐴) = 1)
54oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵))
653ad2antl2 1217 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = (1𝑆𝐵))
7 simpl1 1057 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
8 reccl 10571 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
983ad2antl2 1217 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / 𝐴) ∈ ℂ)
10 simpl2 1058 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
11 simpl3 1059 . . . . . . . . . 10 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵𝑋)
12 nvmul0or.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
13 nvmul0or.4 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
1412, 13nvsass 26867 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ ((1 / 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋)) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)))
157, 9, 10, 11, 14syl13anc 1320 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (((1 / 𝐴) · 𝐴)𝑆𝐵) = ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)))
1612, 13nvsid 26866 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
17163adant2 1073 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
1817adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1𝑆𝐵) = 𝐵)
196, 15, 183eqtr3d 2652 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = 𝐵)
2019adantlr 747 . . . . . . 7 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆(𝐴𝑆𝐵)) = 𝐵)
21 nvmul0or.6 . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (0vec𝑈)
2213, 21nvsz 26877 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (1 / 𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
238, 22sylan2 490 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
2423anassrs 678 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
25243adantl3 1212 . . . . . . . 8 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
2625adantlr 747 . . . . . . 7 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / 𝐴)𝑆𝑍) = 𝑍)
273, 20, 263eqtr3d 2652 . . . . . 6 ((((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 = 𝑍)
2827ex 449 . . . . 5 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐵 = 𝑍))
291, 28syl5bir 232 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐵 = 𝑍))
3029orrd 392 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) ∧ (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍))
3130ex 449 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍)))
3212, 13, 21nv0 26876 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (0𝑆𝐵) = 𝑍)
33 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑆𝐵) = (0𝑆𝐵))
3433eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝐴 = 0 → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (0𝑆𝐵) = 𝑍))
3532, 34syl5ibrcom 236 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋) → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
36353adant2 1073 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
3713, 21nvsz 26877 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍)
38 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝐵 = 𝑍 → (𝐴𝑆𝐵) = (𝐴𝑆𝑍))
3938eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝐵 = 𝑍 → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐴𝑆𝑍) = 𝑍))
4037, 39syl5ibrcom 236 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 = 𝑍 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
41403adant3 1074 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (𝐵 = 𝑍 → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
4236, 41jaod 394 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → ((𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍) → (𝐴𝑆𝐵) = 𝑍))
4331, 42impbid 201 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵) = 𝑍 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐵 = 𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   / cdiv 10563  NrmCVeccnv 26823  BaseSetcba 26825   ·𝑠OLD cns 26826  0veccn0v 26827 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-grpo 26731  df-gid 26732  df-ginv 26733  df-ablo 26783  df-vc 26798  df-nv 26831  df-va 26834  df-ba 26835  df-sm 26836  df-0v 26837  df-nmcv 26839 This theorem is referenced by:  nmlno0lem  27032
 Copyright terms: Public domain W3C validator