Theorem numma2c 11435

Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numma.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6	⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numma2c.8	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
numma2c.9	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
numma2c.10	⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
numma2c.11	⊢ ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
numma2c.12	⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
numma2c	⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numma2c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numma2c.8	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 11181	. . . 4 ⊢ 𝑃 ∈ ℂ
3		numma.6	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
4		numma.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
5		numma.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
6		numma.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
7	4, 5, 6	numcl 11386	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
8	3, 7	eqeltri 2684	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
9	8	nn0cni 11181	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
10	2, 9	mulcomi 9925	. . 3 ⊢ (𝑃 · 𝑀) = (𝑀 · 𝑃)
11	10	oveq1i 6559	. 2 ⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁)
12		numma.4	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
13		numma.5	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
14		numma.7	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
15		numma2c.9	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
16		numma2c.10	. . 3 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
17	5	nn0cni 11181	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
18	17, 2	mulcomi 9925	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐴)
19	18	oveq1i 6559	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺))
20		numma2c.11	. . . 4 ⊢ ((𝑃 · 𝐴) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
21	19, 20	eqtri 2632	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
22	6	nn0cni 11181	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
23	22, 2	mulcomi 9925	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐵)
24	23	oveq1i 6559	. . . 4 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷)
25		numma2c.12	. . . 4 ⊢ ((𝑃 · 𝐵) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
26	24, 25	eqtri 2632	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
27	4, 5, 6, 12, 13, 3, 14, 1, 15, 16, 21, 26	nummac 11434	. 2 ⊢ ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
28	11, 27	eqtri 2632	1 ⊢ ((𝑃 · 𝑀) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549   + caddc 9818   · cmul 9820  ℕ₀cn0 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147  df-nn 10898  df-n0 11170

This theorem is referenced by:  decma2c  11444  decma2cOLD  11445