Theorem numclwwlkovgel 26615

Description: Properties of an element of the value of operation 𝐺. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwwlk.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
numclwwlk.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
numclwwlk.g	⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})

Assertion

Ref	Expression
numclwwlkovgel	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐺𝑁) ↔ (𝑃 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(𝑁 − 2)) = (𝑃‘0))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑤,𝐶   𝑤,𝑁   𝐶,𝑛,𝑣,𝑤   𝑣,𝑁   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑤,𝐸   𝑤,𝑉   𝑤,𝐹   𝑤,𝑃

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑛)   𝐸(𝑣)   𝐹(𝑣,𝑛)   𝐺(𝑤,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlkovgel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numclwwlk.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
2		numclwwlk.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
3		numclwwlk.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
4	1, 2, 3	numclwwlkovg 26614	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑋𝐺𝑁) = {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})
5	4	eleq2d 2673	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐺𝑁) ↔ 𝑃 ∈ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}))
6		fveq1 6102	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (𝑤‘0) = (𝑃‘0))
7	6	eqeq1d 2612	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑃‘0) = 𝑋))
8		fveq1 6102	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑃‘(𝑁 − 2)))
9	8, 6	eqeq12d 2625	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) ↔ (𝑃‘(𝑁 − 2)) = (𝑃‘0)))
10	7, 9	anbi12d 743	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) ↔ ((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(𝑁 − 2)) = (𝑃‘0))))
11	10	elrab 3331	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))} ↔ (𝑃 ∈ (𝐶‘𝑁) ∧ ((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(𝑁 − 2)) = (𝑃‘0))))
12	5, 11	syl6bb 275	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐺𝑁) ↔ (𝑃 ∈ (𝐶‘𝑁) ∧ ((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(𝑁 − 2)) = (𝑃‘0)))))
13		eluzge2nn0 11603	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	1	numclwwlkfvc 26604	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐶‘𝑁) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐶‘𝑁) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
17	16	eleq2d 2673	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃 ∈ (𝐶‘𝑁) ↔ 𝑃 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)))
18	17	anbi1d 737	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃 ∈ (𝐶‘𝑁) ∧ ((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(𝑁 − 2)) = (𝑃‘0))) ↔ (𝑃 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(𝑁 − 2)) = (𝑃‘0)))))
19		3anass 1035	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(𝑁 − 2)) = (𝑃‘0)) ↔ (𝑃 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(𝑁 − 2)) = (𝑃‘0))))
20	18, 19	syl6bbr 277	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑃 ∈ (𝐶‘𝑁) ∧ ((𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(𝑁 − 2)) = (𝑃‘0))) ↔ (𝑃 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(𝑁 − 2)) = (𝑃‘0))))
21	12, 20	bitrd 267	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐺𝑁) ↔ (𝑃 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋 ∧ (𝑃‘(𝑁 − 2)) = (𝑃‘0))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  0cc0 9815   − cmin 10145  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤ_≥cuz 11563   ClWWalksN cclwwlkn 26277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564

This theorem is referenced by:  numclwwlkovgelim  26616