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Theorem numclwwlk7 26641
 Description: Statement 14 in [Huneke] p. 2: "The total number of closed walks of length p [in a friendship graph] is (k(k-1)+1)f(p)=1 (mod p)", since the number of vertices in a friendship graph is (k(k-1)+1), see frgregordn0 26597 or frrusgraord 26598, and p divides (k-1), i.e. (k-1) mod p = 0 => k(k-1) mod p = 0 => k(k-1)+1 mod p = 1. Since the empty graph is a friendship graph, see frgra0 26521, as well as k-regular (for any k), see 0vgrargra 26464, but has no closed walk, see clwlk0 26290, this theorem would be false: ((#‘(𝐶‘𝑃)) mod 𝑃) = 0 ≠ 1, so this case must be excluded. ( (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk7 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑃)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem numclwwlk7
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑝 𝑞 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 15226 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
21nnnn0d 11228 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ0)
32adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ0)
433ad2ant3 1077 . . . . . 6 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
5 eqid 2610 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
65numclwwlkfvc 26604 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))‘𝑃) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑃))
74, 6syl 17 . . . . 5 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))‘𝑃) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑃))
87eqcomd 2616 . . . 4 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑃) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))‘𝑃))
98fveq2d 6107 . . 3 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (#‘((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑃)) = (#‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))‘𝑃)))
109oveq1d 6564 . 2 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑃)) mod 𝑃) = ((#‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))‘𝑃)) mod 𝑃))
11 simpr 476 . . . . 5 ((𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
1211anim2i 591 . . . 4 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ 𝑉 ∈ Fin))
13 df-3an 1033 . . . 4 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ↔ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ 𝑉 ∈ Fin))
1412, 13sylibr 223 . . 3 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin))
15 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑚))
1615cbvmptv 4678 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑚))
17 fveq1 6102 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘0) = (𝑞‘0))
1817eqeq1d 2612 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝‘0) = 𝑣 ↔ (𝑞‘0) = 𝑣))
1918cbvrabv 3172 . . . . . 6 {𝑝 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))‘𝑚) ∣ (𝑝‘0) = 𝑣} = {𝑞 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))‘𝑚) ∣ (𝑞‘0) = 𝑣}
2019a1i 11 . . . . 5 ((𝑣𝑉𝑚 ∈ ℕ0) → {𝑝 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))‘𝑚) ∣ (𝑝‘0) = 𝑣} = {𝑞 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))‘𝑚) ∣ (𝑞‘0) = 𝑣})
2120mpt2eq3ia 6618 . . . 4 (𝑣𝑉, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑝 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))‘𝑚) ∣ (𝑝‘0) = 𝑣}) = (𝑣𝑉, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ {𝑞 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))‘𝑚) ∣ (𝑞‘0) = 𝑣})
2216, 21numclwwlk6 26640 . . 3 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))‘𝑃)) mod 𝑃) = ((#‘𝑉) mod 𝑃))
2314, 22stoic3 1692 . 2 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))‘𝑃)) mod 𝑃) = ((#‘𝑉) mod 𝑃))
24 simp2 1055 . . . . . 6 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin))
2524ancomd 466 . . . . 5 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
26 simp1 1054 . . . . . 6 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸))
2726ancomd 466 . . . . 5 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾))
28 frrusgraord 26598 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
2925, 27, 28sylc 63 . . . 4 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (#‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
3029oveq1d 6564 . . 3 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘𝑉) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
31 rusgraprop 26456 . . . . . . 7 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 USGrph 𝐸𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾))
32 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℂ)
33 peano2cnm 10226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℂ)
3532, 34mulcomd 9940 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 · (𝐾 − 1)) = ((𝐾 − 1) · 𝐾))
3635oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃))
3736adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃))
381ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
39 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
40 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
4339adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
4438, 42, 433jca 1235 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
45 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))
46 mulmoddvds 14889 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃) = 0))
4744, 45, 46sylc 63 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · 𝐾) mod 𝑃) = 0)
4837, 47eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) = 0)
491nnred 10912 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
50 prmgt1 15247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
5149, 50jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
5251ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
53 1mod 12564 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (1 mod 𝑃) = 1)
5548, 54oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) = (0 + 1))
5655oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 + 1) mod 𝑃))
57 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
58 peano2rem 10227 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
6057, 59remulcld 9949 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
6160adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
62 1red 9934 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 1 ∈ ℝ)
631nnrpd 11746 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
6463ad2antrl 760 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
65 modaddabs 12570 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
6661, 62, 64, 65syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 · (𝐾 − 1)) mod 𝑃) + (1 mod 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃))
67 0p1e1 11009 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
6867oveq1i 6559 . . . . . . . . . . 11 ((0 + 1) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)
6949, 50, 53syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → (1 mod 𝑃) = 1)
7069ad2antrl 760 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (1 mod 𝑃) = 1)
7168, 70syl5eq 2656 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
7256, 66, 713eqtr3d 2652 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 1)
7372ex 449 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 1))
74733ad2ant2 1076 . . . . . . 7 ((𝑉 USGrph 𝐸𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥) = 𝐾) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 1))
7531, 74syl 17 . . . . . 6 (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 1))
7675adantr 480 . . . . 5 ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 1))
7776imp 444 . . . 4 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 1)
78773adant2 1073 . . 3 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1) mod 𝑃) = 1)
7930, 78eqtrd 2644 . 2 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘𝑉) mod 𝑃) = 1)
8010, 23, 793eqtrd 2648 1 (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ≠ ∅ ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑃)) mod 𝑃) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  ∅c0 3874  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  Fincfn 7841  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℝ+crp 11708   mod cmo 12530  #chash 12979   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223   USGrph cusg 25859   ClWWalksN cclwwlkn 26277   VDeg cvdg 26420   RegUSGrph crusgra 26450   FriendGrph cfrgra 26515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-s2 13444  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-phi 15309  df-usgra 25862  df-nbgra 25949  df-wlk 26036  df-trail 26037  df-pth 26038  df-spth 26039  df-wlkon 26042  df-spthon 26045  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280  df-2wlkonot 26385  df-2spthonot 26387  df-2spthsot 26388  df-vdgr 26421  df-rgra 26451  df-rusgra 26452  df-frgra 26516 This theorem is referenced by:  frgrareggt1  26643
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