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Theorem numclwwlk4 26637
 Description: The total number of closed walks in a finite undirected simple graph is the sum of the numbers of closed walks starting at each of its vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
numclwwlk.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
Assertion
Ref Expression
numclwwlk4 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝐶𝑁)) = Σ𝑥𝑉 (#‘(𝑥𝐹𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑤,𝐶,𝑥   𝑥,𝐸   𝑤,𝑁,𝑥   𝑥,𝑉   𝐶,𝑛,𝑣,𝑤   𝑣,𝑁   𝑣,𝑉   𝑤,𝐸   𝑤,𝑉   𝑤,𝐹   𝑥,𝑛,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑣)   𝐹(𝑥,𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk4
StepHypRef Expression
1 numclwwlk.c . . . . 5 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
21numclwwlkun 26606 . . . 4 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑁) = 𝑥𝑉 {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
323adant2 1073 . . 3 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑁) = 𝑥𝑉 {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
43fveq2d 6107 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝐶𝑁)) = (#‘ 𝑥𝑉 {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}))
5 simp2 1055 . . 3 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑉 ∈ Fin)
6 usgrav 25867 . . . . . . . . 9 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
76simprd 478 . . . . . . . 8 (𝑉 USGrph 𝐸𝐸 ∈ V)
873ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝐸 ∈ V)
9 simp3 1056 . . . . . . 7 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 clwwlknfi 26306 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∈ Fin)
115, 8, 9, 10syl3anc 1318 . . . . . 6 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∈ Fin)
121numclwwlkfvc 26604 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐶𝑁) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
1312eleq1d 2672 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝐶𝑁) ∈ Fin ↔ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∈ Fin))
14133ad2ant3 1077 . . . . . 6 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑁) ∈ Fin ↔ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ∈ Fin))
1511, 14mpbird 246 . . . . 5 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐶𝑁) ∈ Fin)
1615adantr 480 . . . 4 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐶𝑁) ∈ Fin)
17 rabfi 8070 . . . 4 ((𝐶𝑁) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∈ Fin)
1816, 17syl 17 . . 3 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑉) → {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} ∈ Fin)
191numclwwlkdisj 26607 . . . 4 Disj 𝑥𝑉 {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}
2019a1i 11 . . 3 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Disj 𝑥𝑉 {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
215, 18, 20hashiun 14395 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘ 𝑥𝑉 {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}) = Σ𝑥𝑉 (#‘{𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}))
229anim1i 590 . . . . . . 7 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑁 ∈ ℕ0𝑥𝑉))
2322ancomd 466 . . . . . 6 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
24 numclwwlk.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
251, 24numclwwlkovf 26608 . . . . . 6 ((𝑥𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐹𝑁) = {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
2623, 25syl 17 . . . . 5 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥𝐹𝑁) = {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥})
2726eqcomd 2616 . . . 4 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑉) → {𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥} = (𝑥𝐹𝑁))
2827fveq2d 6107 . . 3 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝑉) → (#‘{𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}) = (#‘(𝑥𝐹𝑁)))
2928sumeq2dv 14281 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → Σ𝑥𝑉 (#‘{𝑤 ∈ (𝐶𝑁) ∣ (𝑤‘0) = 𝑥}) = Σ𝑥𝑉 (#‘(𝑥𝐹𝑁)))
304, 21, 293eqtrd 2648 1 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘(𝐶𝑁)) = Σ𝑥𝑉 (#‘(𝑥𝐹𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173  ∪ ciun 4455  Disj wdisj 4553   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  Fincfn 7841  0cc0 9815  ℕ0cn0 11169  #chash 12979  Σcsu 14264   USGrph cusg 25859   ClWWalksN cclwwlkn 26277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-usgra 25862  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280 This theorem is referenced by:  numclwwlk6  26640
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