Theorem numclwlk2lem2f1o 26632

Description: R is a 1-1 onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwwlk.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
numclwwlk.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
numclwwlk.g	⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
numclwwlk.q	⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.h	⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
numclwwlk.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))

Assertion

Ref	Expression
numclwlk2lem2f1o	⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))–1-1-onto→(𝑋𝑄𝑁))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑤,𝐶,𝑥   𝑥,𝐸   𝑤,𝑁,𝑥   𝑥,𝑉   𝐶,𝑛,𝑣,𝑤   𝑣,𝑁   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑤,𝐸   𝑤,𝑉   𝑤,𝐹   𝑤,𝑄   𝑤,𝐺   𝑥,𝑋   𝑣,𝐸   𝑥,𝐻   𝑥,𝑄   𝑣,𝐻,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑣,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑣,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑤,𝑛)

Proof of Theorem numclwlk2lem2f1o

Dummy variables 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))))
2		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑅‘𝑦) = (𝑅‘𝑥))
3		oveq1 6556	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
4	2, 3	eqeq12d 2625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑅‘𝑦) = (𝑦 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ↔ (𝑅‘𝑥) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
5	1, 4	imbi12d 333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅‘𝑦) = (𝑦 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅‘𝑥) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))))
6	5	imbi2d 329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅‘𝑦) = (𝑦 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))) ↔ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅‘𝑥) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))))
7		numclwwlk.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
8		numclwwlk.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
9		numclwwlk.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
10		numclwwlk.q	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
11		numclwwlk.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
12		numclwwlk.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	numclwlk2lem2fv 26631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅‘𝑦) = (𝑦 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
14	6, 13	chvarv 2251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅‘𝑥) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
15	14	3adant1 1072	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅‘𝑥) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
16	15	imp 444	. . . 4 ⊢ (((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑅‘𝑥) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
17	7, 8, 9, 10, 11, 12	numclwlk2lem2f 26630	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟶(𝑋𝑄𝑁))
18	17	ffvelrnda 6267	. . . 4 ⊢ (((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑅‘𝑥) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
19	16, 18	eqeltrrd 2689	. . 3 ⊢ (((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
20	19	ralrimiva 2949	. 2 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
21	7, 8, 9, 10, 11	numclwwlk2lem1 26629	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) → ∃!𝑣 ∈ 𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))))
22	21	imp 444	. . . 4 ⊢ (((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)) → ∃!𝑣 ∈ 𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)))
23		nnnn0 11176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
24	7, 8, 9, 10	numclwwlkovq 26626	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)})
25	23, 24	sylan2 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)})
26	25	eleq2d 2673	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)}))
27	26	3adant1 1072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)}))
28		fveq1 6102	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤‘0) = (𝑢‘0))
29	28	eqeq1d 2612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑢‘0) = 𝑋))
30		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ( lastS ‘𝑤) = ( lastS ‘𝑢))
31	30	neeq1d 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋 ↔ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋))
32	29, 31	anbi12d 743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋) ↔ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)))
33	32	elrab 3331	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)} ↔ (𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)))
34	27, 33	syl6bb 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ (𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋))))
35		wwlknimpb 26232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)))
36		simpll 786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑢 ∈ Word 𝑉)
37		2nn0 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 2 ∈ ℕ0
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
39	23, 38	nn0addcld 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
40	7, 8, 9, 10, 11	numclwwlkovh 26628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℕ0) → (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) = {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
41	39, 40	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) = {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
42	41	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
43		fveq1 6102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘0) = (𝑥‘0))
44	43	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑥‘0) = 𝑋))
45		fveq1 6102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
46	45, 43	neeq12d 2843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))
47	44, 46	anbi12d 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ↔ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
48	47	elrab 3331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ↔ (𝑥 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ↔ (𝑥 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
50	7	numclwwlkfvc 26604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑁 + 2) ∈ ℕ0 → (𝐶‘(𝑁 + 2)) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)))
51	39, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐶‘(𝑁 + 2)) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)))
52	51	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2))))
53	52	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2))))
54	53	anbi1d 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
55	42, 49, 54	3bitrd 293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
56	55	3adant1 1072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
57	56	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
58		clwwlknprop 26300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑁 + 2) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑥) = (𝑁 + 2))))
59		lencl 13179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑢 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑢) ∈ ℕ0)
60		simprr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → 𝑥 ∈ Word 𝑉)
61		df-2 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ 2 = (1 + 1)
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (1 + 1))
63	62	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) = (𝑁 + (1 + 1)))
64		nncn 10905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
65		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
66	64, 65, 65	addassd 9941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
67	63, 66	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) = ((𝑁 + 1) + 1))
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + 2) = ((𝑁 + 1) + 1))
69	68	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ↔ (#‘𝑥) = ((𝑁 + 1) + 1)))
70	69	biimpcd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) → ((((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘𝑥) = ((𝑁 + 1) + 1)))
71	70	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘𝑥) = ((𝑁 + 1) + 1)))
72	71	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (#‘𝑥) = ((𝑁 + 1) + 1))
73		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((#‘𝑢) = (𝑁 + 1) → ((#‘𝑢) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
74	73	ad3antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ((#‘𝑢) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
75	72, 74	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))
76	60, 75	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))
77	76	exp31 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))))
78	59, 77	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))))
79	78	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))))
80	79	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))))
81	80	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
82	81	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
83	82	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))))
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑁 + 2) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑥) = (𝑁 + 2)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))))
85	84	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑁 + 2) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑥) = (𝑁 + 2))) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
86	85	3adant1 1072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑁 + 2) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑥) = (𝑁 + 2))) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
87	58, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
88	87	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
89	88	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
90	57, 89	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
91	90	ralrimiv 2948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))
92	36, 91	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
93	92	ex 449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))))
94	35, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))))
95	94	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))))
96	95	imp 444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
97		reuccats1 13332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))) → (∃!𝑣 ∈ 𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (#‘𝑢)⟩)))
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) → (∃!𝑣 ∈ 𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (#‘𝑢)⟩)))
99	98	imp 444	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣 ∈ 𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (#‘𝑢)⟩))
100		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (#‘𝑢) = (𝑁 + 1))
101	100	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) = (#‘𝑢))
102	35, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) → (𝑁 + 1) = (#‘𝑢))
103	102	ad4antr 764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣 ∈ 𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑁 + 1) = (#‘𝑢))
104	103	opeq2d 4347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣 ∈ 𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ⟨0, (𝑁 + 1)⟩ = ⟨0, (#‘𝑢)⟩)
105	104	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣 ∈ 𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) = (𝑥 substr ⟨0, (#‘𝑢)⟩))
106	105	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣 ∈ 𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ↔ 𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (#‘𝑢)⟩)))
107	106	reubidva 3102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣 ∈ 𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ↔ ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (#‘𝑢)⟩)))
108	99, 107	mpbird 246	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣 ∈ 𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
109	108	exp31 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃!𝑣 ∈ 𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))))
110	109	com12 32	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) → (∃!𝑣 ∈ 𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))))
111	34, 110	sylbid 229	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) → (∃!𝑣 ∈ 𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))))
112	111	imp 444	. . . 4 ⊢ (((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)) → (∃!𝑣 ∈ 𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
113	22, 112	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
114	113	ralrimiva 2949	. 2 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
115	12	f1ompt 6290	. 2 ⊢ (𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))–1-1-onto→(𝑋𝑄𝑁) ↔ (∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
116	20, 114, 115	sylanbrc 695	1 ⊢ ((𝑉 FriendGrph 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))–1-1-onto→(𝑋𝑄𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃!wreu 2898  {crab 2900  Vcvv 3173  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤ_≥cuz 11563  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149   substr csubstr 13150   WWalksN cwwlkn 26206   ClWWalksN cclwwlkn 26277   FriendGrph cfrgra 26515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280  df-frgra 26516

This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem3  26633