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Theorem numclwlk2lem2f1o 26632
 Description: R is a 1-1 onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
numclwwlk.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
numclwwlk.g 𝐺 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
numclwwlk.q 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.h 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
numclwwlk.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
Assertion
Ref Expression
numclwlk2lem2f1o ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))–1-1-onto→(𝑋𝑄𝑁))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑤,𝐶,𝑥   𝑥,𝐸   𝑤,𝑁,𝑥   𝑥,𝑉   𝐶,𝑛,𝑣,𝑤   𝑣,𝑁   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑤,𝐸   𝑤,𝑉   𝑤,𝐹   𝑤,𝑄   𝑤,𝐺   𝑥,𝑋   𝑣,𝐸   𝑥,𝐻   𝑥,𝑄   𝑣,𝐻,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑣,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑣,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑤,𝑛)

Proof of Theorem numclwlk2lem2f1o
Dummy variables 𝑦 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))))
2 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑅𝑦) = (𝑅𝑥))
3 oveq1 6556 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
42, 3eqeq12d 2625 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑅𝑦) = (𝑦 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ↔ (𝑅𝑥) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
51, 4imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑦) = (𝑦 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ↔ (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑥) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))))
65imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑦) = (𝑦 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))) ↔ ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑥) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))))
7 numclwwlk.c . . . . . . . 8 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
8 numclwwlk.f . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
9 numclwwlk.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
10 numclwwlk.q . . . . . . . 8 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
11 numclwwlk.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
12 numclwwlk.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
137, 8, 9, 10, 11, 12numclwlk2lem2fv 26631 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑦) = (𝑦 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
146, 13chvarv 2251 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑥) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
15143adant1 1072 . . . . 5 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑅𝑥) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
1615imp 444 . . . 4 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑅𝑥) = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
177, 8, 9, 10, 11, 12numclwlk2lem2f 26630 . . . . 5 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟶(𝑋𝑄𝑁))
1817ffvelrnda 6267 . . . 4 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑅𝑥) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
1916, 18eqeltrrd 2689 . . 3 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
2019ralrimiva 2949 . 2 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
217, 8, 9, 10, 11numclwwlk2lem1 26629 . . . . 5 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) → ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))))
2221imp 444 . . . 4 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)) → ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)))
23 nnnn0 11176 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
247, 8, 9, 10numclwwlkovq 26626 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)})
2523, 24sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)})
2625eleq2d 2673 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)}))
27263adant1 1072 . . . . . . 7 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ 𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)}))
28 fveq1 6102 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑢 → (𝑤‘0) = (𝑢‘0))
2928eqeq1d 2612 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑢 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑢‘0) = 𝑋))
30 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑢 → ( lastS ‘𝑤) = ( lastS ‘𝑢))
3130neeq1d 2841 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑢 → (( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋 ↔ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋))
3229, 31anbi12d 743 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑢 → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋) ↔ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)))
3332elrab 3331 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)} ↔ (𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)))
3427, 33syl6bb 275 . . . . . 6 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ (𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋))))
35 wwlknimpb 26232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)))
36 simpll 786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → 𝑢 ∈ Word 𝑉)
37 2nn0 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℕ0
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
3923, 38nn0addcld 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℕ0)
407, 8, 9, 10, 11numclwwlkovh 26628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℕ0) → (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) = {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
4139, 40sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) = {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
4241eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
43 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘0) = (𝑥‘0))
4443eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑥‘0) = 𝑋))
45 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
4645, 43neeq12d 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))
4744, 46anbi12d 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ↔ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
4847elrab 3331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ↔ (𝑥 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ↔ (𝑥 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
507numclwwlkfvc 26604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 + 2) ∈ ℕ0 → (𝐶‘(𝑁 + 2)) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)))
5139, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐶‘(𝑁 + 2)) = ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)))
5251eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2))))
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2))))
5453anbi1d 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ (𝐶‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
5542, 49, 543bitrd 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
56553adant1 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
5756adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
58 clwwlknprop 26300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑁 + 2) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑥) = (𝑁 + 2))))
59 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑢 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑢) ∈ ℕ0)
60 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → 𝑥 ∈ Word 𝑉)
61 df-2 10956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 = (1 + 1)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (1 + 1))
6362oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) = (𝑁 + (1 + 1)))
64 nncn 10905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
65 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
6664, 65, 65addassd 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
6763, 66eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) = ((𝑁 + 1) + 1))
6867adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + 2) = ((𝑁 + 1) + 1))
6968eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ↔ (#‘𝑥) = ((𝑁 + 1) + 1)))
7069biimpcd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) → ((((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘𝑥) = ((𝑁 + 1) + 1)))
7170adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘𝑥) = ((𝑁 + 1) + 1)))
7271impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (#‘𝑥) = ((𝑁 + 1) + 1))
73 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((#‘𝑢) = (𝑁 + 1) → ((#‘𝑢) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
7473ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ((#‘𝑢) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
7572, 74eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))
7660, 75jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))
7776exp31 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((#‘𝑢) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))))
7859, 77sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))))
7978com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))))
80793ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))))
8180impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
8281com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
8382ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑥) = (𝑁 + 2) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))))
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑁 + 2) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑥) = (𝑁 + 2)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))))
8584impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑁 + 2) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑥) = (𝑁 + 2))) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
86853adant1 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑁 + 2) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑥) = (𝑁 + 2))) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
8758, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
8887adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
8988com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑥 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 2)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
9057, 89sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
9190ralrimiv 2948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))
9236, 91jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
9392ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))))
9435, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))))
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1)))))
9695imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))))
97 reuccats1 13332 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑥) = ((#‘𝑢) + 1))) → (∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (#‘𝑢)⟩)))
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (#‘𝑢)⟩)))
9998imp 444 . . . . . . . . 9 ((((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (#‘𝑢)⟩))
100 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (#‘𝑢) = (𝑁 + 1))
101100eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) = (#‘𝑢))
10235, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) → (𝑁 + 1) = (#‘𝑢))
103102ad4antr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑁 + 1) = (#‘𝑢))
104103opeq2d 4347 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ⟨0, (𝑁 + 1)⟩ = ⟨0, (#‘𝑢)⟩)
105104oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) = (𝑥 substr ⟨0, (#‘𝑢)⟩))
106105eqeq2d 2620 . . . . . . . . . 10 (((((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ↔ 𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (#‘𝑢)⟩)))
107106reubidva 3102 . . . . . . . . 9 ((((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ↔ ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (#‘𝑢)⟩)))
10899, 107mpbird 246 . . . . . . . 8 ((((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) ∧ (𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
109108exp31 628 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) → ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))))
110109com12 32 . . . . . 6 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑢 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑢) ≠ 𝑋)) → (∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))))
11134, 110sylbid 229 . . . . 5 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁) → (∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))))
112111imp 444 . . . 4 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)) → (∃!𝑣𝑉 (𝑢 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
11322, 112mpd 15 . . 3 (((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)) → ∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
114113ralrimiva 2949 . 2 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ∀𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
11512f1ompt 6290 . 2 (𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))–1-1-onto→(𝑋𝑄𝑁) ↔ (∀𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑋𝑄𝑁)∃!𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))𝑢 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
11620, 114, 115sylanbrc 695 1 ((𝑉 FriendGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))–1-1-onto→(𝑋𝑄𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃!wreu 2898  {crab 2900  Vcvv 3173  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤ≥cuz 11563  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149   substr csubstr 13150   WWalksN cwwlkn 26206   ClWWalksN cclwwlkn 26277   FriendGrph cfrgra 26515 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280  df-frgra 26516 This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem3  26633
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