Theorem norm3lemt 27393

Description: Lemma involving norm of differences in Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
norm3lemt	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷))

Proof of Theorem norm3lemt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶))
2	1	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)))
3	2	breq1d 4593	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2)))
4	3	anbi1d 737	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) ↔ ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2))))
5		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵))
6	5	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)))
7	6	breq1d 4593	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷 ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) < 𝐷))
8	4, 7	imbi12d 333	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) → ((((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷) ↔ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) < 𝐷)))
9		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (𝐶 −ℎ 𝐵) = (𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
10	9	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
11	10	breq1d 4593	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2) ↔ (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)))
12	11	anbi2d 736	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) ↔ ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2))))
13		oveq2 6557	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
14	13	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
15	14	breq1d 4593	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) < 𝐷 ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < 𝐷))
16	12, 15	imbi12d 333	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) → ((((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐵)) < 𝐷) ↔ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < 𝐷)))
17		oveq2 6557	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ)))
18	17	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) = (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))))
19	18	breq1d 4593	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)))
20		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)) = (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ)))
21	20	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) = (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))))
22	21	breq1d 4593	. . . 4 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ↔ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)))
23	19, 22	anbi12d 743	. . 3 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)) ↔ ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2))))
24	23	imbi1d 330	. 2 ⊢ (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) → ((((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < 𝐷) ↔ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < 𝐷)))
25		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → (𝐷 / 2) = (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2))
26	25	breq2d 4595	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)))
27	25	breq2d 4595	. . . 4 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ↔ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)))
28	26, 27	anbi12d 743	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)) ↔ ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2))))
29		breq2 4587	. . 3 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < 𝐷 ↔ (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2)))
30	28, 29	imbi12d 333	. 2 ⊢ (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < 𝐷) ↔ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2))))
31		ifhvhv0 27263	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) ∈ ℋ
32		ifhvhv0 27263	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ) ∈ ℋ
33		ifhvhv0 27263	. . 3 ⊢ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) ∈ ℋ
34		2re 10967	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
35	34	elimel 4100	. . 3 ⊢ if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) ∈ ℝ
36	31, 32, 33, 35	norm3lem 27390	. 2 ⊢ (((normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2) ∧ (normℎ‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)) → (normℎ‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0ℎ) −ℎ if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0ℎ))) < if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2))
37	8, 16, 24, 30, 36	dedth4h 4092	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) < 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   < clt 9953   / cdiv 10563  2c2 10947   ℋchil 27160  norm_ℎcno 27164  0_ℎc0v 27165   −_ℎ cmv 27166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-hnorm 27209  df-hvsub 27212

This theorem is referenced by: (None)