Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm3lemt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm3lemt 27393
 Description: Lemma involving norm of differences in Hilbert space. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
norm3lemt (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(𝐴 𝐵)) < 𝐷))

Proof of Theorem norm3lemt
StepHypRef Expression
1 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶))
21fveq2d 6107 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 𝐶)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)))
32breq1d 4593 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2)))
43anbi1d 737 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) ↔ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2))))
5 oveq1 6556 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
65fveq2d 6107 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
76breq1d 4593 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 𝐵)) < 𝐷 ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) < 𝐷))
84, 7imbi12d 333 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(𝐴 𝐵)) < 𝐷) ↔ (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) < 𝐷)))
9 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐶 𝐵) = (𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
109fveq2d 6107 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(𝐶 𝐵)) = (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
1110breq1d 4593 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2) ↔ (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)))
1211anbi2d 736 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) ↔ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2))))
13 oveq2 6557 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1413fveq2d 6107 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
1514breq1d 4593 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) < 𝐷 ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < 𝐷))
1612, 15imbi12d 333 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) < 𝐷) ↔ (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < 𝐷)))
17 oveq2 6557 . . . . . 6 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)))
1817fveq2d 6107 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))))
1918breq1d 4593 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (𝐷 / 2)))
20 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
2120fveq2d 6107 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
2221breq1d 4593 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2) ↔ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)))
2319, 22anbi12d 743 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)) ↔ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2))))
2423imbi1d 330 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < 𝐷) ↔ (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < 𝐷)))
25 oveq1 6556 . . . . 5 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → (𝐷 / 2) = (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2))
2625breq2d 4595 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (𝐷 / 2) ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)))
2725breq2d 4595 . . . 4 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2) ↔ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)))
2826, 27anbi12d 743 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)) ↔ ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2))))
29 breq2 4587 . . 3 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < 𝐷 ↔ (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2)))
3028, 29imbi12d 333 . 2 (𝐷 = if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) → ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < 𝐷) ↔ (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2))))
31 ifhvhv0 27263 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
32 ifhvhv0 27263 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
33 ifhvhv0 27263 . . 3 if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ∈ ℋ
34 2re 10967 . . . 4 2 ∈ ℝ
3534elimel 4100 . . 3 if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) ∈ ℝ
3631, 32, 33, 35norm3lem 27390 . 2 (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2) ∧ (norm‘(if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < (if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2) / 2)) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) < if(𝐷 ∈ ℝ, 𝐷, 2))
378, 16, 24, 30, 36dedth4h 4092 1 (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (((norm‘(𝐴 𝐶)) < (𝐷 / 2) ∧ (norm‘(𝐶 𝐵)) < (𝐷 / 2)) → (norm‘(𝐴 𝐵)) < 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ifcif 4036   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814   < clt 9953   / cdiv 10563  2c2 10947   ℋchil 27160  normℎcno 27164  0ℎc0v 27165   −ℎ cmv 27166 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-hfvadd 27241  ax-hvcom 27242  ax-hvass 27243  ax-hv0cl 27244  ax-hvaddid 27245  ax-hfvmul 27246  ax-hvmulid 27247  ax-hvmulass 27248  ax-hvdistr2 27250  ax-hvmul0 27251  ax-hfi 27320  ax-his1 27323  ax-his2 27324  ax-his3 27325  ax-his4 27326 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-hnorm 27209  df-hvsub 27212 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator