Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nobndlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nobndlem3 31093
 Description: Lemma for nobndup 31099 and nobnddown 31100. Calculate the birthday of (𝐶 × {𝑋}). (Contributed by Scott Fenton, 17-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
nobndlem2.1 𝑋 ∈ {1𝑜, 2𝑜}
nobndlem2.2 𝐶 = {𝑎 ∈ On ∣ ∀𝑛𝐹𝑏𝑎 (𝑛𝑏) ≠ 𝑋}
Assertion
Ref Expression
nobndlem3 ((𝐹 No 𝐹𝐴) → ( bday ‘(𝐶 × {𝑋})) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐹,𝑎,𝑏,𝑛   𝑋,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑛,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem nobndlem3
StepHypRef Expression
1 nobndlem2.1 . . . 4 𝑋 ∈ {1𝑜, 2𝑜}
2 nobndlem2.2 . . . 4 𝐶 = {𝑎 ∈ On ∣ ∀𝑛𝐹𝑏𝑎 (𝑛𝑏) ≠ 𝑋}
31, 2nobndlem2 31092 . . 3 ((𝐹 No 𝐹𝐴) → 𝐶 ∈ On)
41noxpsgn 31062 . . 3 (𝐶 ∈ On → (𝐶 × {𝑋}) ∈ No )
5 bdayval 31045 . . 3 ((𝐶 × {𝑋}) ∈ No → ( bday ‘(𝐶 × {𝑋})) = dom (𝐶 × {𝑋}))
63, 4, 53syl 18 . 2 ((𝐹 No 𝐹𝐴) → ( bday ‘(𝐶 × {𝑋})) = dom (𝐶 × {𝑋}))
71elexi 3186 . . . 4 𝑋 ∈ V
87snnz 4252 . . 3 {𝑋} ≠ ∅
9 dmxp 5265 . . 3 ({𝑋} ≠ ∅ → dom (𝐶 × {𝑋}) = 𝐶)
108, 9ax-mp 5 . 2 dom (𝐶 × {𝑋}) = 𝐶
116, 10syl6eq 2660 1 ((𝐹 No 𝐹𝐴) → ( bday ‘(𝐶 × {𝑋})) = 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  ∩ cint 4410   × cxp 5036  dom cdm 5038  Oncon0 5640  ‘cfv 5804  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441   No csur 31037   bday cbday 31039 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-1o 7447  df-2o 7448  df-no 31040  df-bday 31042 This theorem is referenced by:  nobndlem8  31098
 Copyright terms: Public domain W3C validator