Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnsdomel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsdomel 8699
 Description: Strict dominance and elementhood are the same for finite ordinals. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnsdomel ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem nnsdomel
StepHypRef Expression
1 cardnn 8672 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (card‘𝐴) = 𝐴)
2 cardnn 8672 . . 3 (𝐵 ∈ ω → (card‘𝐵) = 𝐵)
3 eleq12 2678 . . 3 (((card‘𝐴) = 𝐴 ∧ (card‘𝐵) = 𝐵) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
41, 2, 3syl2an 493 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
5 nnon 6963 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
6 onenon 8658 . . . 4 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
75, 6syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ dom card)
8 nnon 6963 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
9 onenon 8658 . . . 4 (𝐵 ∈ On → 𝐵 ∈ dom card)
108, 9syl 17 . . 3 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ dom card)
11 cardsdom2 8697 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 ∈ dom card) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
127, 10, 11syl2an 493 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((card‘𝐴) ∈ (card‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
134, 12bitr3d 269 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Oncon0 5640  ‘cfv 5804  ωcom 6957   ≺ csdm 7840  cardccrd 8644 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648 This theorem is referenced by:  fin23lem27  9033
 Copyright terms: Public domain W3C validator