Theorem nnoddm1d2 14940

Description: A positive integer is odd iff its successor divided by 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnoddm1d2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nnoddm1d2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 11276	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
2		oddp1d2 14920	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4		peano2nn 10909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
5	4	nnred 10912	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6		2re 10967	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
7	6	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
8		nnre 10904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
9		1red 9934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
10		nngt0 10926	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
11		0lt1 10429	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
12	11	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 1)
13	8, 9, 10, 12	addgt0d 10481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
14		2pos 10989	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 < 2
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 2)
16	5, 7, 13, 15	divgt0d 10838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < ((𝑁 + 1) / 2))
17	16	anim1i 590	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (0 < ((𝑁 + 1) / 2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
18	17	ancomd 466	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
19		elnnz 11264	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑁 + 1) / 2)))
20	18, 19	sylibr 223	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ)
21	20	ex 449	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
22		nnz 11276	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
23	21, 22	impbid1 214	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
24	3, 23	bitrd 267	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤcz 11254   ∥ cdvds 14821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-dvds 14822

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem0b  24882