Theorem nn0sqeq1 28901

Description: Integer square one. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sqeq1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁↑2) = 1) → 𝑁 = 1)

Proof of Theorem nn0sqeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 11178	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		1red 9934	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
3	1, 2	lttri2d 10055	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≠ 1 ↔ (𝑁 < 1 ∨ 1 < 𝑁)))
4		nn0lt10b 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
5	4	biimpa 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 = 0)
6	5	sq0id 12819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → (𝑁↑2) = 0)
7		0ne1 10965	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → 0 ≠ 1)
9	6, 8	eqnetrd 2849	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → (𝑁↑2) ≠ 1)
10		1red 9934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
11		sq1 12820	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
12		0le1 10430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 1)
14		nn0ge0 11195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
15	2, 1, 13, 14	lt2sqd 12905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (1↑2) < (𝑁↑2)))
16	15	biimpa 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝑁) → (1↑2) < (𝑁↑2))
17	11, 16	syl5eqbrr 4619	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝑁) → 1 < (𝑁↑2))
18	10, 17	gtned 10051	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁↑2) ≠ 1)
19	9, 18	jaodan 822	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 < 1 ∨ 1 < 𝑁)) → (𝑁↑2) ≠ 1)
20	19	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 < 1 ∨ 1 < 𝑁) → (𝑁↑2) ≠ 1))
21	3, 20	sylbid 229	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁↑2) ≠ 1))
22	21	necon4d 2806	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) = 1 → 𝑁 = 1))
23	22	imp 444	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁↑2) = 1) → 𝑁 = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by:  2sqcoprm  28978